Dois reservatórios, cujos níveis de água estão situados nas cotas 195 m e 100 m , estão interligados por meio de uma tubulação de PVC ( \mathrm{C}=140 ) de 975 m de comprimento que conduz uma vazão de 5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Calcular o diâmetro interno dos tubos da adutora.

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e listar os dados fornecidos.\n
  • Pedem: calcular o diâmetro interno dos tubos da adutora.\n
  • Dados fornecidos: \n
    • Nível do reservatório superior: \,195\\ \text{m}\,.\n
    • Nível do reservatório inferior: \,100\\ \text{m}\,.\n
    • Coeficiente de Hazen–Williams do tubo (PVC): \,C=140\,.\n
    • Comprimento da tubulação: \,L=975\\ \text{m}\,.\n
    • Vazão escoada: \,Q=5\\ \text{L/s}=0{,}005\\ \text{m}^3/\text{s}\,.\n
  • Observação importante: a diferença de cota entre reservatórios fornece a energia disponível para vencer as perdas por atrito. A diferença de nível é \,195-100=95\\ \text{m}\,. Neste exercício vamos presumir que as perdas por atrito na tubulação são dominantes e igualam essa diferença de cota (ou seja, desprezamos outras perdas locais).

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada termo (aula curta sobre o conceito).\n
  • Fórmula escolhida: equação empírica de Hazen–Williams para perda de carga por atrito em tubulações em unidades SI (forma prática):\n
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}8704}}\n
  • O que cada símbolo significa:\n
    • \,h_f\, é a perda de carga por atrito ao longo do comprimento L (em metros). Aqui vamos igualar \,h_f\, à diferença de cotas disponível, \,95\\ \text{m}\,.\n - \,L\, é o comprimento da tubulação (em metros), aqui \,975\\ \text{m}\,.\n - \,Q\, é a vazão (em \text{m}^3/\text{s}), aqui \,0{,}005\\ \text{m}^3/\text{s}\,.\n - \,C\, é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional), aqui \,140\,.\n - \,D\, é o diâmetro interno da tubulação (em metros) — é o que queremos achar.\n- Por que usamos esta fórmula? Porque o enunciado dá C com o valor típico do método de Hazen–Williams e a tubulação é em PVC (material para o qual esse coeficiente é aplicado). A fórmula relaciona perda de carga, vazão, comprimento, rugosidade (via C) e diâmetro.

Passo 3

Isolar o diâmetro \,D\, na fórmula (manipulação algébrica explicada passo a passo).\n
  • Começamos com:\n
h_f = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; D^{4{,}8704}}\n
  • Isolando D^{4{,}8704}:\n
D^{4{,}8704} = 10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f}\n
  • Tomamos a raiz de ordem 4{,}8704 (ou elevamos ao expoente \frac{1}{4{,}8704}) para obter D:\n
D = \left(10{,}67\; \frac{L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f}\right)^{\frac{1}{4{,}8704}}

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (vou mostrar as potências e produtos para você poder acompanhar e reproduzir sem calculadora, com arredondamentos razoáveis).\n
  • Primeiro, listar os valores usados:\n
    • \,L=975\\ \text{m}\,\n - \,Q=0{,}005\\ \text{m}^3/\text{s}\,\n - \,C=140\,\n - \,h_f=95\\ \text{m}\, (diferença de cota)\n- Calcular Q^{1{,}852}:\n Q^{1{,}852} = (0{,}005)^{1{,}852}\approx 5{,}48\times 10^{-5}\n
(Explicação rápida: \,0{,}005=5\times 10^{-3}. Ao elevarmos a potência obtém-se um número pequeno; usei logaritmos ou calculadora para esse passo e apresento o valor arredondado para manter precisão suficiente.)\n
  • Calcular C^{1{,}852}:\n C^{1{,}852} = (140)^{1{,}852}\approx 9{,}434\n
(De novo, cálculo feito via logaritmo/avaliador numérico; mantemos 4 algarismos relevantes.)

Passo 5

Calcular o numerador e denominador da expressão dentro do parêntese.\n
  • Numerador:\n 10{,}67\; L\; Q^{1{,}852} = 10{,}67 \times 975 \times 5{,}48\times 10^{-5} \approx 0{,}5701\n
  • Denominador:\n C^{1{,}852}\; h_f = 9{,}434 \times 95 \approx 896{,}230\n
  • Então a razão é:\n \frac{10{,}67\; L\; Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\; h_f} \approx \frac{0{,}5701}{896{,}230}\approx 6{,}36\times 10^{-7}

Passo 6

Calcular D elevando a razão à potência \frac{1}{4{,}8704}.\n
  • Aplicando a raiz:\n D = \left(6{,}36\times 10^{-7}\right)^{\frac{1}{4{,}8704}} \approx 0{,}0534\\ \text{m}\n
  • Converter para milímetros (útil na prática):\n D \approx 0{,}0534\\ \text{m} = 53{,}4\\ \text{mm}

Passo 7

Verificação rápida e comentário prático (checar velocidade e observações para prova).\n
  • Área da seção transversal:\n A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0{,}0534)^2}{4}\approx 2{,}24\times 10^{-3}\\ \text{m}^2\n
  • Velocidade média no tubo (verificando se o número é razoável):\n v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}005}{2{,}24\times 10^{-3}}\approx 2{,}23\\ \text{m/s}\n
  • Comentário: \,v\approx 2{,}2\\ \text{m/s}\, é uma velocidade perfeitamente aceitável para uma adutora em PVC (valores práticos costumam ficar entre 1 e 3\\ \text{m/s}). Em projeto prático escolheríamos um diâmetro comercial padronizado próximo, por exemplo \,50\\ \text{mm} ou \,63\\ \text{mm}\,; o cálculo teórico deu \,53{,}4\\ \text{mm}\,, então \,50\\ \text{mm} reduziria um pouco a segurança (velocidade maior e perda maior) e \,63\\ \text{mm} seria uma escolha mais conservadora.

Resposta

D \approx 0{,}0534\\ \text{m} = 53{,}4\\ \text{mm}

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