( 2,0 pontos) A tensão superficial do benzeno puro é 28,9 \mathrm{mN} \cdot \mathrm{m}^{-1} a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o trabalho necessário para dividir uma gota esférica de benzeno, com diâmetro D=1,5 \mathrm{~cm}, em 10 gotículas esféricas idênticas (assuma todo o trabalho sendo como somente o gasto no aumento de área superficial).

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o trabalho necessário para dividir uma gota esférica de benzeno em 10 gotículas esféricas idênticas, assumindo que todo o trabalho é gasto no aumento da área superficial.
Dados fornecidos:
\gamma = 28,9\\ \mathrm{mN}\cdot\mathrm{m}^{-1},
D = 1,5\\ \mathrm{cm}.
Condições/assunções:
  • Cada gotícula final é esférica e idêntica.
  • O volume total do benzeno é conservado (soma dos volumes das 10 gotículas = volume da gota original).
  • Todo o trabalho gasto é o necessário para aumentar a área superficial (ou seja, W=\gamma\Delta A).

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e direta): a tensão superficial \gamma mede a energia (ou trabalho) necessária para criar uma unidade de área de superfície livre do líquido. Portanto, se a área superficial aumenta de A_0 para A_f, o trabalho mínimo necessário é
W=\gamma\,\Delta A=\gamma\,(A_f-A_0).
Unidades: \gamma em \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}, área em \mathrm{m}^2, então W em joules (\mathrm{J}).

Passo 3

Expressões geométricas para esfera:
\text{volume: } V=\frac{4}{3}\pi R^3, \qquad \text{área: } A=4\pi R^2.á
Raio da gota inicial:
R_0=\frac{D}{2}=\frac{1,5\\ \mathrm{cm}}{2}=0,75\\ \mathrm{cm}=0,0075\\ \mathrm{m}.
Área inicial:
A_0=4\pi R_0^2=4\pi(0,0075)^2.
Não calculei ainda numericamente, vou deixar a expressão e simplificar depois.

Passo 4

Conservação de volume para as 10 gotículas idênticas: se cada gotícula tem raio r,
10\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=\frac{4}{3}\pi R_0^3
\Rightarrow 10 r^3 = R_0^3
\Rightarrow r = R_0\,10^{-1/3}.
Área total final:
A_f = 10\cdot 4\pi r^2 = 40\pi r^2.
Como r^2=R_0^2\,10^{-2/3}, substituindo:
A_f = 40\pi R_0^2\,10^{-2/3} = 4\pi R_0^2 \cdot 10^{1-2/3} = 4\pi R_0^2 \cdot 10^{1/3}.
Portanto a relação simples:
A_f = A_0\cdot 10^{1/3}.
Logo a variação de área é
\Delta A = A_f-A_0 = A_0\bigl(10^{1/3}-1\bigr).

Passo 5

Agora calculamos numericamente passo a passo.
Calcule A_0:
A_0 = 4\pi(0,0075)^2 = 4\pi\cdot 5{,}625\times 10^{-5} = 2{,}25\times 10^{-4}\pi\\ \mathrm{m}^2.
Aproximando \pi\approx3{,}14159,
A_0 \approx 2{,}25\times 10^{-4}\times 3{,}14159 \approx 7{,}0686\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Calcule o fator 10^{1/3} (raiz cúbica de 10):
10^{1/3}\approx 2{,}15443469.
Logo
10^{1/3}-1 \approx 1{,}15443469.
Agora \Delta A:
\Delta A = A_0(10^{1/3}-1) \approx 7{,}0686\times 10^{-4}\times 1{,}15443469 \approx 8{,}162\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Convertemos \gamma para \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}:
\gamma = 28{,}9\\ \mathrm{mN}\cdot\mathrm{m}^{-1} = 28{,}9\times 10^{-3}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}=0{,}0289\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}.
Agora o trabalho:
W=\gamma\,\Delta A \approx 0{,}0289\times 8{,}162\times 10^{-4}\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
W \approx 2{,}359\times 10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais familiares:
W \approx 2{,}36\times 10^{-5}\\ \mathrm{J} = 23{,}6\\ \mu\mathrm{J}.

Resposta

2,36\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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