Calcular a velocidade terminal de:
partículas irregulares de 1 mm de comprimento característico e esfericidade =0,67
para rho solido =2,5 g / cm^3, rho fluido =1,2 times 10^-3 g / cm^3 e mu=1,8 times 10^-4 g / cm s.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a velocidade terminal de partículas irregulares (comprimento característico L=1,mm e esfericidade phi=0,67) que caem num fluido (ar) com densidade rhof=1,2times10^-3,g/cm³ e viscosidade mu=1,8times10^-4,g/(cm·s). A densidade da partícula é rhop=2,5,g/cm³.
Conteúdo: equilíbrio entre peso e força de arraste, número de Reynolds, coeficiente de arraste ( Cd) via correlação de Schiller–Naumann (para esfera) e ajuste pela esfericidade. Vamos usar método iterativo porque Cd depende de Reynolds, que por sua vez depende da velocidade que buscamos.

Passo 2

Primeiro, convertemos tudo pra unidades coerentes (SI convertido pra facilitar a ideia):
• diâmetro equivalente (volume‐esfera) d=1,mm =1times10^-3,m
rhop=2,5,g/cm³ =2500,kg/m³
rhof=1,2times10^-3,g/cm³ =1,2,kg/m³
mu=1,8times10^-4,g/(cm·s) =1,8times10^-5,Pa·s
• aceleração da gravidade g=9,81,m/s²

Passo 3

A condição de terminal é: peso efetivo = arraste
(rhop-rhof),V,g ;=; tfrac12,rhof,Cd,A,vt^2,
onde V=tfracpi d^36 é o volume e A=tfracpi d^24 é a área de projeção. Rearranjando:
vt = raiz4(rhop-rhof),g,d3,rhof,Cd,

Passo 4

Para achar Cd usamos a correlação de Schiller–Naumann para esfera:
Cd,esfera = 24Rel(1+0,15,Re^0,687r),
com
Re = rhof,vt,dmu,
Como nossa partícula é irregular, dividimos Cd da esfera pela esfericidade phi:
Cd = Cd,esferaphi,

Passo 5

Fazemos uma iteração simples:
  1. Chute inicial v0 (por exemplo 0,1,m/s).
  2. Calcule Rei = rhof vi d/mu.
  3. Encontre Cd,esfera e ajuste Cd=Cd,esfera/phi.
  4. Atualize vi+1 = raiz4(rhop-rhof),g,d3,rhof,Cd,
    5. Repita até vi+1approx vi.
Fazendo isso dá:
i=0: v0=0,1,m/s → Reapprox6,7 Cdapprox8,34 v1approx1,81,m/s
i=1: Reapprox120 Cdapprox1,50 v2approx4,26,m/s
i=2: Reapprox284 Cdapprox1,04 v3approx5,10,m/s
i=3: Reapprox340 Cdapprox0,97 v4approx5,29,m/s
i=4: Reapprox353 Cdapprox0,96 v5approx5,33,m/s
Converge em torno de 5,34,m/s.

Resposta

A velocidade terminal vale, aproximadamente,
boxedvt approx 5,3 m/s

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