com a>0 e b>0. Vou listar claramente o que foi dado e o que preciso encontrar:
Dados: os parâmetros h,k,a,b com a>0,\;b>0.
Pedido: calcular a área da região D delimitada por essa curva (ou seja, a área do interior da elipse).
A forma natural de expressar a região interior é
Essa escolha “centraliza” a elipse em (0,0) e normaliza os semi-eixos para 1, deixando apenas o disco unitário — muito mais fácil de integrar.
Passo 3
Para aplicar a fórmula de mudança de variáveis em integrais duplas é preciso o determinante Jacobiano J da transformação T. Calculo as derivadas parciais:
Intuitivamente, o Jacobiano mede o fator local de escala de áreas provocado pela transformação; aqui, por ser linear e diagonal, cada pequeno retângulo em (u,v) é ampliado por um fator ab em (x,y).]
Passo 4
Aplicando a mudança de variáveis para a área (que é a integral dupla da função 1 sobre D), obtemos
\text{Área}(D)=\iint_{D} dA = \iint_{U} \bigl|\det J(u,v)\bigr|\;du\,dv.Á
Como a>0 e b>0, tem-se |\det J|=ab constante, então
\text{Área}(D)=ab\iint_{U} du\,dv.Á
Restou calcular a área do disco unitário U.
Passo 5
Calculo \iint_{U} du\,dv usando coordenadas polares (r,\theta) em (u,v):
Portanto \iint_{U} du\,dv=\pi, que é a conhecida área do disco unitário.
Passo 6
Voltando para a elipse, usando o resultado do Passo 4 e do Passo 5:
\text{Área}(D)=ab\cdot \pi = \pi a b.Á
Pronto — a área da elipse depende apenas dos semi-eixos a e b, e o deslocamento (h,k) só move a elipse no plano sem alterar sua área. Força aí nos estudos — essa mudança linear é um truque poderoso e aparece muito em prova!