Calcular, via integral dupla, a área delimitada pela curva \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1, a>0, b>0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
com a>0 e b>0. Vou listar claramente o que foi dado e o que preciso encontrar:
  • Dados: os parâmetros h,k,a,b com a>0,\;b>0.
  • Pedido: calcular a área da região D delimitada por essa curva (ou seja, a área do interior da elipse).
    A forma natural de expressar a região interior é
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\\ \middle|\\ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}\le 1\right\}.

Passo 2

Vamos transformar o problema para uma região mais simples via mudança de variáveis linear. Defino as novas variáveis
u=\frac{x-h}{a},\qquad v=\frac{y-k}{b}.
Com isso a elipse e seu interior passam para o disco unitário
U=\left\{(u,v)\in\mathbb{R}^{2}\\ \middle|\\ u^{2}+v^{2}\le 1\right\}.
A transformação direta (mapa T) é
T(u,v)=(x,y)=(h+au,\;k+bv).
Essa escolha “centraliza” a elipse em (0,0) e normaliza os semi-eixos para 1, deixando apenas o disco unitário — muito mais fácil de integrar.

Passo 3

Para aplicar a fórmula de mudança de variáveis em integrais duplas é preciso o determinante Jacobiano J da transformação T. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial u}=a,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial u}=0,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=b.
A matriz Jacobiana é
\begin{pmatrix} a & 0\\[4pt] 0 & b \end{pmatrix},
e seu determinante é
\det J = a\cdot b = ab.
Intuitivamente, o Jacobiano mede o fator local de escala de áreas provocado pela transformação; aqui, por ser linear e diagonal, cada pequeno retângulo em (u,v) é ampliado por um fator ab em (x,y).]

Passo 4

Aplicando a mudança de variáveis para a área (que é a integral dupla da função 1 sobre D), obtemos
\text{Área}(D)=\iint_{D} dA = \iint_{U} \bigl|\det J(u,v)\bigr|\;du\,dv.Á
Como a>0 e b>0, tem-se |\det J|=ab constante, então
\text{Área}(D)=ab\iint_{U} du\,dv.Á
Restou calcular a área do disco unitário U.

Passo 5

Calculo \iint_{U} du\,dv usando coordenadas polares (r,\theta) em (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,\qquad 0\le r\le 1,\quad 0\le\theta\le 2\pi.
O Jacobiano das coordenadas polares é r, portanto
\iint_{U} du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta.
Faço a integral interna:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}.
Agora a integral completa:
\int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\,d\theta = \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Portanto \iint_{U} du\,dv=\pi, que é a conhecida área do disco unitário.

Passo 6

Voltando para a elipse, usando o resultado do Passo 4 e do Passo 5:
\text{Área}(D)=ab\cdot \pi = \pi a b.Á
Pronto — a área da elipse depende apenas dos semi-eixos a e b, e o deslocamento (h,k) só move a elipse no plano sem alterar sua área. Força aí nos estudos — essa mudança linear é um truque poderoso e aparece muito em prova!

Resposta

\pi a b

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