Use a mudança de variáveis u=x y e v=y para calcular a integral dupla \iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right) d A sendo D a região do plano x y delimitada pelas curvas x y=1, x y=2, y=|x| e y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dA
onde a região D é limitada pelas curvas \,x y=1\,,\; x y=2\,,\; y=|x| e y=2x. Foi sugerida a mudança de variáveis
u = x y,\qquad v = y.
Resumo das informações dadas e do que é pedido:
  • Integral a avaliar: \iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dA.
  • Curvas que limitam D: \,x y=1, \,x y=2, \,y=|x|, \,y=2x.
  • Mudança de variáveis proposta: u=x y e v=y.
  • Objetivo: trocar para coordenadas (u,v), calcular o jacobiano, transformar a região e avaliar a integral.

Passo 2

Interpretar geometricamente a região D para saber onde aplicar a mudança:
  • As curvas \,x y=1 e \,x y=2 são hipérboles com produto positivo, então x e y têm o mesmo sinal nessas curvas.
  • A curva y=|x| tem duas ramificações: y=x para x\ge0 e y=-x para x\le0; mas y=|x| dá sempre y\ge0.
  • A reta y=2x passa pela origem; para x\ge0 tem y\ge0, para x<0 tem y<0.
    Conclusão: a região limitada por essas quatro curvas fica no primeiro quadrante ( x\ge0,\;y\ge0), entre as hipérboles 1\le x y\le 2 e entre as retas y=x e y=2x. Portanto, para (x,y)\in D vale
x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad 1\le x y\le 2,\qquad x\le y\le 2x.

Passo 3

Escrever explicitamente a transformação e sua inversa:
  • Definição: \,u=x y,\; v=y.
  • Inversa (resolver para x,y em termos de u,v):
y = v,\qquad x = \frac{u}{v}.
Observação: na região considerada temos y\ge0, logo v\ge0. A transformação é bem definida para v>0.

Passo 4

Calcular o jacobiano (a razão de mudança de área):
  • Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é o determinante da matriz das derivadas parciais de x,y em relação a u,v:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
  • Como x=\dfrac{u}{v} e y=v, calculam-se as derivadas:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{v},\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=-\frac{u}{v^{2}},\qquad \frac{\partial y}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=1.
  • Então o determinante é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{1}{v} & -\dfrac{u}{v^{2}} \\[6pt] 0 & 1 \end{vmatrix} = \frac{1}{v}\cdot 1 - 0\cdot\left(-\frac{u}{v^{2}}\right)=\frac{1}{v}.
  • Como v=y\ge0 na região, o módulo do jacobiano é \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{v}. Isto significa que um pequeno retângulo de área du\,dv em (u,v) corresponde a uma área \dfrac{1}{v}du\,dv em (x,y).]

Passo 5

Expressar o integrando e o elemento de área em (u,v):
  • Substituir x=\dfrac{u}{v} e y=v em x^{2}+2y^{2}:
x^{2}+2y^{2}=\left(\frac{u}{v}\right)^{2}+2v^{2}=\frac{u^{2}}{v^{2}}+2v^{2}.
  • Multiplicar pelo jacobiano \dfrac{1}{v} para obter o integrando em (u,v):
\left(\frac{u^{2}}{v^{2}}+2v^{2}\right)\cdot\frac{1}{v}=\frac{u^{2}}{v^{3}}+2v.

Passo 6

Transformar a região D em uma região R no plano (u,v):
  • A hipérbole x y=1 vira u=1.
  • A hipérbole x y=2 vira u=2.
  • A reta y=x substituindo x=u/v e y=v v=\dfrac{u}{v}, isto é v^{2}=u ou v=\sqrt{u} (tomando v\ge0).
  • A reta y=2x v=2\cdot\dfrac{u}{v}, isto é v^{2}=2u ou v=\sqrt{2u} (com v\ge0).
    Portanto, na nova variável u varia de \,1 a \,2 e, para cada u, v varia de \sqrt{u} até \sqrt{2u}. Assim a região em (u,v) é
R=\{(u,v)\mid 1\le u\le 2,\\ \sqrt{u}\le v\le \sqrt{2u}\}.

Passo 7

Escrever a integral dupla em coordenadas (u,v):
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dA =\int_{u=1}^{2}\int_{v=\sqrt{u}}^{\sqrt{2u}}\left(\frac{u^{2}}{v^{3}}+2v\right)\,dv\,du.

Passo 8

Calcular a integral interna em v passo a passo:
  • Calcular primitivas em v:
\int \frac{u^{2}}{v^{3}}\,dv = u^{2}\int v^{-3}\,dv = u^{2}\left(-\frac{1}{2}v^{-2}\right) = -\frac{u^{2}}{2v^{2}},
\int 2v\,dv = v^{2}.
  • Portanto a primitiva do integrando é -\dfrac{u^{2}}{2v^{2}}+v^{2}. Avaliando entre v=\sqrt{u} e v=\sqrt{2u}:
    Avaliação no limite superior v=\sqrt{2u}:
-\frac{u^{2}}{2(\sqrt{2u})^{2}}+(\sqrt{2u})^{2} = -\frac{u^{2}}{2\cdot 2u}+2u = -\frac{u}{4}+2u=\frac{7u}{4}.
Avaliação no limite inferior v=\sqrt{u}:
-\frac{u^{2}}{2(\sqrt{u})^{2}}+(\sqrt{u})^{2} = -\frac{u^{2}}{2u}+u = -\frac{u}{2}+u=\frac{u}{2}.
  • A diferença (superior - inferior) é
\frac{7u}{4}-\frac{u}{2}=\frac{7u}{4}-\frac{2u}{4}=\frac{5u}{4}.
Portanto a integral interna resulta em \dfrac{5u}{4}.

Passo 9

Integrar em u e obter o valor final:
\int_{u=1}^{2}\frac{5u}{4}\,du=\frac{5}{4}\int_{1}^{2}u\,du=\frac{5}{4}\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{1}^{2} =\frac{5}{4}\left(\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}\right) =\frac{5}{4}\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right) =\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{15}{8}.

Resposta

\dfrac{15}{8}

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