Use a mudança de variáveis u=x y e v=y para calcular a integral dupla \iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right) d A sendo D a região do plano x y delimitada pelas curvas x y=1, x y=2, y=|x| e y=2 x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dA
onde a região D é limitada pelas curvas \,x y=1\,,\; x y=2\,,\; y=|x| e y=2x. Foi sugerida a mudança de variáveis
u = x y,\qquad v = y.
Resumo das informações dadas e do que é pedido:
Integral a avaliar: \iint_{D}\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\,dA.
Curvas que limitam D: \,x y=1, \,x y=2, \,y=|x|, \,y=2x.
Mudança de variáveis proposta: u=x y e v=y.
Objetivo: trocar para coordenadas (u,v), calcular o jacobiano, transformar a região e avaliar a integral.
Passo 2
Interpretar geometricamente a região D para saber onde aplicar a mudança:
As curvas \,x y=1 e \,x y=2 são hipérboles com produto positivo, então x e y têm o mesmo sinal nessas curvas.
A curva y=|x| tem duas ramificações: y=x para x\ge0 e y=-x para x\le0; mas y=|x| dá sempre y\ge0.
A reta y=2x passa pela origem; para x\ge0 tem y\ge0, para x<0 tem y<0.
Conclusão: a região limitada por essas quatro curvas fica no primeiro quadrante (x\ge0,\;y\ge0), entre as hipérboles 1\le x y\le 2 e entre as retas y=x e y=2x. Portanto, para (x,y)\in D vale
x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad 1\le x y\le 2,\qquad x\le y\le 2x.
Passo 3
Escrever explicitamente a transformação e sua inversa:
Definição: \,u=x y,\; v=y.
Inversa (resolver para x,y em termos de u,v):
y = v,\qquad x = \frac{u}{v}.
Observação: na região considerada temos y\ge0, logo v\ge0. A transformação é bem definida para v>0.
Passo 4
Calcular o jacobiano (a razão de mudança de área):
Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é o determinante da matriz das derivadas parciais de x,y em relação a u,v:
Como v=y\ge0 na região, o módulo do jacobiano é \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{v}. Isto significa que um pequeno retângulo de área du\,dv em (u,v) corresponde a uma área \dfrac{1}{v}du\,dv em (x,y).]
Passo 5
Expressar o integrando e o elemento de área em (u,v):
Transformar a região D em uma região R no plano (u,v):
A hipérbole x y=1 vira u=1.
A hipérbole x y=2 vira u=2.
A reta y=x substituindo x=u/v e y=v dá v=\dfrac{u}{v}, isto é v^{2}=u ou v=\sqrt{u} (tomando v\ge0).
A reta y=2x dá v=2\cdot\dfrac{u}{v}, isto é v^{2}=2u ou v=\sqrt{2u} (com v\ge0).
Portanto, na nova variável u varia de \,1 a \,2 e, para cada u, v varia de \sqrt{u} até \sqrt{2u}. Assim a região em (u,v) é