Determine, via integral dupla, o volume do sólido delimitado pelas seguintes superfícies: x=9 z^{2}+y^{2}, z^{2}+4 y^{2}=2 z e x=0.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado por três superfícies: x=9 z^{2}+y^{2}, z^{2}+4 y^{2}=2 z e x=0.
Informações dadas:
A superfície x=9 z^{2}+y^{2} expressa x em função de y e z.
A superfície x=0 é o plano que corta o sólido no lado de x igual a zero.
A curva z^{2}+4 y^{2}=2 z determina a projeção do sólido no plano yz: os pontos (y,z) que satisfazem essa equação são a fronteira da região na qual o sólido existe (pois para esses pontos x vai de 0 até 9 z^{2}+y^{2}).
O que o problema efetivamente pede:
Calcular o volume do sólido, isto é, a integral tripla do elemento de volume sobre a região delimitada. Como as superfícies dão x explicitamente entre 0 e 9 z^{2}+y^{2}, pode-se reduzir para uma integral dupla sobre a região no plano yz limitada por z^{2}+4 y^{2}=2 z.
Passo 2
Escolher a forma conveniente da integral.
Como x varia entre 0 e 9 z^{2}+y^{2}, o volume V pode ser escrito como
V=\iint_{R}\bigl(9 z^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde R é a região do plano yz delimitada por
z^{2}+4 y^{2}=2 z.
Explicação rápida do raciocínio: ao integrar em x primeiro, para cada ponto (y,z)\in R o segmento de x vai de 0 até 9 z^{2}+y^{2}. Integrando 1 ao longo desse segmento obtemos comprimento 9 z^{2}+y^{2}; assim a integral tripla reduz-se à integral dupla acima.
Passo 3
Descrever a região R explicitamente: manipular a equação z^{2}+4 y^{2}=2 z para reconhecer sua forma.
Completar o quadrado em z:
z^{2}-2z+4y^{2}=0
(z-1)^{2}-1+4y^{2}=0
(z-1)^{2}+4y^{2}=1.
Portanto R é a região interior à elipse centrada em (z,y)=(1,0) dada por
\frac{(z-1)^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{(1/4)}=1.
Interpretando: semi-eixo na direção z tem comprimento 1 e na direção y tem comprimento 1/2.
Passo 4
Fazer uma mudança de variáveis que transforme a elipse em um círculo unitário, para simplificar a integração.
Definir novas variáveis (u,v) por
u=z-1,\qquad v=2y.
Com essa escolha a equação da fronteira fica
u^{2}+v^{2}=1,
ou seja, o disco unitário D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
Expressões inversas e diferencial de área:
y=\frac{v}{2},\qquad z=u+1.
O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(y,z) é a matriz
\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
Calcular as integrais sobre o disco unitário usando coordenadas polares em (u,v): u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, com 0\le r\le1, 0\le\theta<2\pi. Em polares o elemento de área é du\,dv=r\,dr\,d\theta.
Observações de simetria úteis:
Pelo centro do disco em origem, \iint_{D}u\,du\,dv=0 (função ímpar em u sobre disco simétrico).
\iint_{D}u^{2}\,du\,dv=\iint_{D}v^{2}\,du\,dv por simetria.