Determine, via integral dupla, o volume do sólido delimitado pelas seguintes superfícies: x=9 z^{2}+y^{2}, z^{2}+4 y^{2}=2 z e x=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por três superfícies: x=9 z^{2}+y^{2}, z^{2}+4 y^{2}=2 z e x=0.
Informações dadas:
  • A superfície x=9 z^{2}+y^{2} expressa x em função de y e z.
  • A superfície x=0 é o plano que corta o sólido no lado de x igual a zero.
  • A curva z^{2}+4 y^{2}=2 z determina a projeção do sólido no plano yz: os pontos (y,z) que satisfazem essa equação são a fronteira da região na qual o sólido existe (pois para esses pontos x vai de 0 até 9 z^{2}+y^{2}).
O que o problema efetivamente pede:
  • Calcular o volume do sólido, isto é, a integral tripla do elemento de volume sobre a região delimitada. Como as superfícies dão x explicitamente entre 0 e 9 z^{2}+y^{2}, pode-se reduzir para uma integral dupla sobre a região no plano yz limitada por z^{2}+4 y^{2}=2 z.

Passo 2

Escolher a forma conveniente da integral.
Como x varia entre 0 e 9 z^{2}+y^{2}, o volume V pode ser escrito como
V=\iint_{R}\bigl(9 z^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde R é a região do plano yz delimitada por
z^{2}+4 y^{2}=2 z.
Explicação rápida do raciocínio: ao integrar em x primeiro, para cada ponto (y,z)\in R o segmento de x vai de 0 até 9 z^{2}+y^{2}. Integrando 1 ao longo desse segmento obtemos comprimento 9 z^{2}+y^{2}; assim a integral tripla reduz-se à integral dupla acima.

Passo 3

Descrever a região R explicitamente: manipular a equação z^{2}+4 y^{2}=2 z para reconhecer sua forma.
Completar o quadrado em z:
z^{2}-2z+4y^{2}=0
(z-1)^{2}-1+4y^{2}=0
(z-1)^{2}+4y^{2}=1.
Portanto R é a região interior à elipse centrada em (z,y)=(1,0) dada por
\frac{(z-1)^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{(1/4)}=1.
Interpretando: semi-eixo na direção z tem comprimento 1 e na direção y tem comprimento 1/2.

Passo 4

Fazer uma mudança de variáveis que transforme a elipse em um círculo unitário, para simplificar a integração.
Definir novas variáveis (u,v) por
u=z-1,\qquad v=2y.
Com essa escolha a equação da fronteira fica
u^{2}+v^{2}=1,
ou seja, o disco unitário D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
Expressões inversas e diferencial de área:
y=\frac{v}{2},\qquad z=u+1.
O Jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(y,z) é a matriz
\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \partial y/\partial u & \partial y/\partial v\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.
O determinante (valor absoluto) é
\bigl|\det\bigr|=\left|0\cdot0-\tfrac{1}{2}\cdot1\right|=\tfrac{1}{2}.
Logo
dA=dydz=\tfrac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 5

Reescrever o integrando em função de (u,v).
Temos
9 z^{2}+y^{2}=9(u+1)^{2}+\left(\frac{v}{2}\right)^{2}.
Expandindo:
9(u+1)^{2}+\frac{v^{2}}{4}=9u^{2}+18u+9+\frac{v^{2}}{4}.
Portanto o volume é
V=\iint_{D}\Bigl(9u^{2}+18u+9+\frac{v^{2}}{4}\Bigr)\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv,
onde D é o disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1.

Passo 6

Calcular as integrais sobre o disco unitário usando coordenadas polares em (u,v): u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, com 0\le r\le1, 0\le\theta<2\pi. Em polares o elemento de área é du\,dv=r\,dr\,d\theta.
Observações de simetria úteis:
  • Pelo centro do disco em origem, \iint_{D}u\,du\,dv=0 (função ímpar em u sobre disco simétrico).
  • \iint_{D}u^{2}\,du\,dv=\iint_{D}v^{2}\,du\,dv por simetria.
  • Área de D é \pi.
Calcular as integrais necessárias:
\iint_{D}u^{2}\,du\,dv=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\cos^{2}\theta\;r\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\right).
Sabe-se que \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi e \int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\tfrac{1}{4}. Portanto
\iint_{D}u^{2}\,du\,dv=\pi\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{\pi}{4}.
Pelo mesmo raciocínio,
\iint_{D}v^{2}\,du\,dv=\tfrac{\pi}{4}.
E a área
\iint_{D}1\,du\,dv=\pi.
Adicionalmente
\iint_{D}u\,du\,dv=0.

Passo 7

Substituir esses valores na expressão do volume.
Recordando
V=\frac{1}{2}\iint_{D}\Bigl(9u^{2}+18u+9+\frac{v^{2}}{4}\Bigr)\,du\,dv,
temos termo a termo:
\iint_{D}9u^{2}\,du\,dv=9\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{9\pi}{4},
\iint_{D}18u\,du\,dv=18\cdot0=0,
\iint_{D}9\,du\,dv=9\cdot\pi=9\pi,
\iint_{D}\frac{v^{2}}{4}\,du\,dv=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{16}.
Somando:
\iint_{D}\Bigl(9u^{2}+18u+9+\frac{v^{2}}{4}\Bigr)\,du\,dv =\frac{9\pi}{4}+0+9\pi+\frac{\pi}{16}.
Colocar tudo sobre denominador comum 16:
\frac{9\pi}{4}= \frac{36\pi}{16},\qquad 9\pi=\frac{144\pi}{16},\qquad \frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{16}.
Soma = \dfrac{36\pi+144\pi+\pi}{16}=\dfrac{181\pi}{16}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} da frente:
V=\frac{1}{2}\cdot\frac{181\pi}{16}=\frac{181\pi}{32}.

Resposta

\displaystyle \frac{181\pi}{32}

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