Calcular o volume de um prisma quadrangular regular, cuja a base está inscrita num círculo de 3 cm de raio, sendo a altura igual ao diâmetro deste círculo.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um prisma quadrangular regular cujas informações são:
  • A base é um quadrado inscrito num círculo de raio \,3\\ \text{cm}\,.
  • A altura do prisma é igual ao diâmetro desse círculo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\,R=3\\ \text{cm} é o raio do círculo que passa pelos vértices do quadrado (portanto é o raio circunscrito ao quadrado).
A altura do prisma é o diâmetro do círculo, isto é \,h=2R.
O que se pede: calcular o volume do prisma, isto é, encontrar \,V.

Passo 2

Vamos entender a relação entre o raio do círculo circunscrito e o lado do quadrado inscrito. Defina:
\,s = lado do quadrado inscrito.
No quadrado, a diagonal vale \,d = s\sqrt{2}.
O raio do círculo circunscrito ao quadrado é a metade da diagonal (porque o centro do círculo coincide com o centro do quadrado e passa pelos vértices). Portanto:
R = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2} = \frac{s}{\sqrt{2}}.
Isolando \,s obtemos:
s = R\sqrt{2}.
Aqui expliquei passo a passo: diagonal do quadrado é s\sqrt{2}; raio é metade da diagonal; daí resolvemos para s.

Passo 3

Agora substituímos o valor do raio dado no enunciado, \,R=3\\ \text{cm}, na fórmula obtida:
s = R\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\\ \text{cm}.
Verificação rápida: a diagonal fica \,d = s\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=3\cdot2=6\\ \text{cm}, que é exatamente o diâmetro 2R=6\\ \text{cm}. Faz sentido.

Passo 4

Calcular a área da base (área do quadrado). A fórmula da área de um quadrado é:
A = s^2.
Substituindo \,s=3\sqrt{2}:
A = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18\\ \text{cm}^2.
Expliquei: ao elevar \,3\sqrt{2} ao quadrado multiplicamos 3^2 por (\sqrt{2})^2.

Passo 5

Calcular a altura do prisma. O enunciado diz que a altura é igual ao diâmetro do círculo de raio \,3\\ \text{cm}. Logo:
h = 2R = 2\cdot 3 = 6\\ \text{cm}.
Aqui lembramos a definição de diâmetro: é duas vezes o raio.

Passo 6

Fórmula do volume de um prisma: o volume é a área da base vezes a altura. Em símbolos:
V = A \cdot h,
onde \,A é a área da base e \,h a altura. Isso ocorre porque um prisma é um sólido com seção constante ao longo da altura, então empilhar bases dá o volume.
Substituindo os valores que achamos:
V = 18\\ \text{cm}^2 \cdot 6\\ \text{cm} = 108\\ \text{cm}^3.
Expliquei a origem da fórmula e mostrei a conta final.

Resposta

108\\ \text{cm}^3

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