Calcular o volume de um prisma quadrangular regular, cuja a base está inscrita num círculo de 3 cm de raio, sendo a altura igual ao diâmetro deste círculo.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um prisma quadrangular regular cujas informações são:
- A base é um quadrado inscrito num círculo de raio
. - A altura do prisma é igual ao diâmetro desse círculo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
é o raio do círculo que passa pelos vértices do quadrado (portanto é o raio circunscrito ao quadrado).
A altura do prisma é o diâmetro do círculo, isto é .
A altura do prisma é o diâmetro do círculo, isto é
O que se pede: calcular o volume do prisma, isto é, encontrar
.
Passo 2
Vamos entender a relação entre o raio do círculo circunscrito e o lado do quadrado inscrito. Defina:
= lado do quadrado inscrito.
No quadrado, a diagonal vale
.
O raio do círculo circunscrito ao quadrado é a metade da diagonal (porque o centro do círculo coincide com o centro do quadrado e passa pelos vértices). Portanto:
O raio do círculo circunscrito ao quadrado é a metade da diagonal (porque o centro do círculo coincide com o centro do quadrado e passa pelos vértices). Portanto:
Isolando
obtemos:
Aqui expliquei passo a passo: diagonal do quadrado é
; raio é metade da diagonal; daí resolvemos para
.
Passo 3
Agora substituímos o valor do raio dado no enunciado,
, na fórmula obtida:
Verificação rápida: a diagonal fica
, que é exatamente o diâmetro
. Faz sentido.
Passo 4
Calcular a área da base (área do quadrado). A fórmula da área de um quadrado é:
Substituindo
:
Expliquei: ao elevar
ao quadrado multiplicamos
por
.
Passo 5
Calcular a altura do prisma. O enunciado diz que a altura é igual ao diâmetro do círculo de raio
. Logo:
Aqui lembramos a definição de diâmetro: é duas vezes o raio.
Passo 6
Fórmula do volume de um prisma: o volume é a área da base vezes a altura. Em símbolos:
onde
é a área da base e
a altura. Isso ocorre porque um prisma é um sólido com seção constante ao longo da altura, então empilhar bases dá o volume.
Substituindo os valores que achamos:
Expliquei a origem da fórmula e mostrei a conta final.