Calcular o volume do sólido delimitado pela superfície z=2+x^{2}+y, acima do retângulo no plano x y definido por:
0 \leq x \leq 3
1 \leq y \leq 2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície \,z=2+x^{2}+y\, acima do retângulo no plano xy definido por:
0 \leq x \leq 3
1 \leq y \leq 2
Informações relevantes dadas:
  • A função que dá a altura do sólido sobre cada ponto (x,y) do plano é \,z=2+x^{2}+y\,.
  • A região de projeção no plano xy é o retângulo \,D=\{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;1\le y\le2\}.
  • O volume do sólido sob a superfície sobre D é dado pela integral dupla do padrão: \displaystyle \iint_{D} z\,dA.

Passo 2

Ideia do método (sem jargão complicado): o volume pedido é a soma (integral) de pequenas colunas verticais de altura \,z=2+x^{2}+y\, sobre cada pedacinho de área dA no retângulo. Portanto usamos uma integral dupla sobre D:
\text{Volume}=\iint_{D}\bigl(2+x^{2}+y\bigr)\,dA.
Como D é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini e escrever a integral dupla como uma iterada. Escolhemos integrar primeiro em y (porque a expressão é simples em y) e depois em x. Assim o cálculo fica:
\text{Volume}=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=1}^{2}\bigl(2+x^{2}+y\bigr)\,dy\right)dx.
Breve explicação das notações:
  • \,dA\, representa um elemento infinitesimal de área no plano xy.
  • \int_{y=1}^{2}\cdots dy integra em relação a \,y\, mantendo \,x\, fixo.
  • \int_{x=0}^{3}\cdots dx integra o resultado em relação a \,x\,.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=1}^{2}\bigl(2+x^{2}+y\bigr)\,dy.
Tratamento passo a passo:
  • \,2+x^{2}\, é constante em relação a y, logo \displaystyle \int_{1}^{2}(2+x^{2})\,dy=(2+x^{2})\cdot(2-1)=(2+x^{2}).
  • Para \,y\,, a antiderivada é \,y^{2}/2. Então \displaystyle \int_{1}^{2} y\,dy=\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
    Somando as partes:
\int_{1}^{2}\bigl(2+x^{2}+y\bigr)\,dy=(2+x^{2})+\frac{3}{2}=x^{2}+\frac{7}{2}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x de 0 a 3:
\text{Volume}=\int_{0}^{3}\left(x^{2}+\frac{7}{2}\right)dx.
Calcule as antiderivadas termo a termo:
  • A antiderivada de \,x^{2}\, é \,x^{3}/3.
  • A antiderivada de \,\dfrac{7}{2}\, é \,\dfrac{7}{2}x.
    Portanto
\int_{0}^{3}\left(x^{2}+\frac{7}{2}\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{7}{2}x\right]_{0}^{3}.
Avaliação nos limites:
\frac{3^{3}}{3}+\frac{7}{2}\cdot 3 -\left(0+0\right)=\frac{27}{3}+\frac{21}{2}=9+\frac{21}{2}.
Somando em forma de fração:
9+\frac{21}{2}=\frac{18}{2}+\frac{21}{2}=\frac{39}{2}.

Passo 5

Interpretação final rápida e incentivo: o volume do sólido é \dfrac{39}{2}. Isso significa que, somando as alturas (2+x^{2}+y) sobre cada ponto do retângulo e multiplicando infinitesimalmente pela área, obtemos esse valor total. Ótimo — você montou a integral, integrou em y e depois em x, que é a forma padrão para problemas assim. Vai dar certo na prova!

Resposta

\dfrac{39}{2}

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