Calcular o volume do sólido delimitado pela superfície
, acima do retângulo no plano
definido por:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
acima do retângulo no plano
definido por:
Informações relevantes dadas:
- A função que dá a altura do sólido sobre cada ponto
do plano é . - A região de projeção no plano
é o retângulo . - O volume do sólido sob a superfície sobre
é dado pela integral dupla do padrão: .
Passo 2
Ideia do método (sem jargão complicado): o volume pedido é a soma (integral) de pequenas colunas verticais de altura
sobre cada pedacinho de área
no retângulo. Portanto usamos uma integral dupla sobre
:
Como
é um retângulo, podemos aplicar o Teorema de Fubini e escrever a integral dupla como uma iterada. Escolhemos integrar primeiro em
(porque a expressão é simples em
) e depois em
. Assim o cálculo fica:
Breve explicação das notações:
-
representa um elemento infinitesimal de área no plano . -
integra em relação a mantendo fixo. -
integra o resultado em relação a .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Tratamento passo a passo:
-
é constante em relação a , logo . - Para
, a antiderivada é . Então .
Somando as partes:
Passo 4
Agora integramos o resultado em
de
a
:
Calcule as antiderivadas termo a termo:
- A antiderivada de
é . - A antiderivada de
é .
Portanto
Avaliação nos limites:
Somando em forma de fração:
Passo 5
Interpretação final rápida e incentivo: o volume do sólido é
. Isso significa que, somando as alturas
sobre cada ponto do retângulo e multiplicando infinitesimalmente pela área, obtemos esse valor total. Ótimo — você montou a integral, integrou em
e depois em
, que é a forma padrão para problemas assim. Vai dar certo na prova!