Calcular o volume do sólido delimitado pela superfície z=2+x^{2}+y, acima do retângulo no plano x y definido por:
0 \leq x \leq 3
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pela superfície \,z=2+x^{2}+y\, acima de um retângulo R no plano xy. O enunciado fornece a condição
0 \leq x \leq 3.
Informações relevantes dadas:
A superfície é \,z=2+x^{2}+y\,.
O domínio de projeção R é um retângulo com x variando de 0 a 3.
Problema: falta o intervalo de y (o retângulo precisa de dois intervalos: para x e para y). Sem os limites em y não é possível obter um valor numérico final do volume. Para prosseguir de forma útil, vou resolver o problema para um retângulo geral com
0 \leq x \leq 3,\qquad a \leq y \leq b,
onde a e b são os limites de y (desconhecidos). No final mostro como obter um número caso o enunciado tivesse, por exemplo, a=0,b=2. Não vou pedir os valores; vou apresentar a fórmula geral que o professor pode avaliar com os limites corretos.
Passo 2
Princípio para calcular volume: o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2+x^{2}+y e dA é o elemento de área no plano xy (para retângulo, dA=dx\,dy ou dy\,dx). A ideia é somar infinitesimais pitadas de volume f(x,y)\,dA sobre todo o retângulo.
Passo 3
Pela regra de Fubini (integral iterada em retângulo), podemos escrever o volume como integral iterada. Escolho integrar primeiro em y (porque o integrando é linear em y, fica simples):
Mas isto só vale se os limites de y forem 0 e 2. Como o enunciado não informou os limites de y, o resultado numérico final não pode ser dado sem essa informação.