3ª Questão (2.0 pts)

Calcular o volume do sólido delimitado pela superfície z=2+x^{2}+y, acima do retângulo no plano x y definido por:
0 \leq x \leq 3

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pela superfície \,z=2+x^{2}+y\, acima de um retângulo R no plano xy. O enunciado fornece a condição
0 \leq x \leq 3.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície é \,z=2+x^{2}+y\,.
  • O domínio de projeção R é um retângulo com x variando de 0 a 3.
Problema: falta o intervalo de y (o retângulo precisa de dois intervalos: para x e para y). Sem os limites em y não é possível obter um valor numérico final do volume. Para prosseguir de forma útil, vou resolver o problema para um retângulo geral com
0 \leq x \leq 3,\qquad a \leq y \leq b,
onde a e b são os limites de y (desconhecidos). No final mostro como obter um número caso o enunciado tivesse, por exemplo, a=0,b=2. Não vou pedir os valores; vou apresentar a fórmula geral que o professor pode avaliar com os limites corretos.

Passo 2

Princípio para calcular volume: o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R no plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2+x^{2}+y e dA é o elemento de área no plano xy (para retângulo, dA=dx\,dy ou dy\,dx). A ideia é somar infinitesimais pitadas de volume f(x,y)\,dA sobre todo o retângulo.

Passo 3

Pela regra de Fubini (integral iterada em retângulo), podemos escrever o volume como integral iterada. Escolho integrar primeiro em y (porque o integrando é linear em y, fica simples):
V=\int_{x=0}^{3}\left(\int_{y=a}^{b} (2+x^{2}+y)\,dy\right)dx.
Explicando: fixando um x, calculo a contribuição ao longo do segmento vertical a\le y\le b; depois somo essas contribuições para x de 0 a 3.

Passo 4

Calculo a integral interna em y. Integrando termo a termo:
  • \int (2)\,dy = 2y.
  • \int x^{2}\,dy = x^{2}y (tratando x como constante).
  • \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Portanto, avaliando de y=a a y=b,
\int_{y=a}^{b} (2+x^{2}+y)\,dy = \bigl(2y + x^{2}y + \tfrac{y^{2}}{2}\bigr)\Big|_{y=a}^{y=b} = (2+x^{2})(b-a) + \tfrac{1}{2}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 5

Agora integro em x de 0 a 3. Substituindo o resultado anterior:
V=\int_{0}^{3}\left[(2+x^{2})(b-a) + \tfrac{1}{2}(b^{2}-a^{2})\right]dx.
Separando termos:
V=(b-a)\int_{0}^{3}(2+x^{2})\,dx \;+\; \tfrac{1}{2}(b^{2}-a^{2})\int_{0}^{3} dx.
Calculo as integrais:
\int_{0}^{3}(2+x^{2})\,dx = \bigl(2x + \tfrac{x^{3}}{3}\bigr)\Big|_{0}^{3} = 2\cdot3 + \tfrac{27}{3} = 6 + 9 = 15,
\int_{0}^{3} dx = 3.
Substituindo:
V = (b-a)\cdot 15 \;+\; \tfrac{1}{2}(b^{2}-a^{2})\cdot 3 =15(b-a) + \tfrac{3}{2}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr).

Passo 6

Podemos simplificar fatorando b-a (usando b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)):
V = (b-a)\left[15 + \tfrac{3}{2}(b+a)\right].
Esta é a expressão do volume do sólido sobre o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;a\le y\le b\}.

Passo 7

Exemplo numérico (apenas ilustrativo): se o enunciado realmente quisesse 0\le y\le 2 (isto é, a=0,b=2), então
V = (2-0)\left[15 + \tfrac{3}{2}(2+0)\right] = 2\bigl(15 + 3\bigr) = 2\cdot 18 = 36.
Mas isto só vale se os limites de y forem 0 e 2. Como o enunciado não informou os limites de y, o resultado numérico final não pode ser dado sem essa informação.

Resposta

V=15(b-a)+\tfrac{3}{2}(b^{2}-a^{2})=(b-a)\!\left(15+\tfrac{3}{2}(a+b)\right)

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