2{ }^{\text {a }} Questão (2.0 pts)

Calcular \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, sendo R a região entre as circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região entre as duas circunferências centradas na origem dadas por
x^{2}+y^{2}=1 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=9.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A região R é um anel (ou coroa circular) centrado na origem.
  • A circunferência interna tem raio 1.
  • A circunferência externa tem raio 3.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Para integrar sobre uma região circular, é extremamente conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que muda a diferencial de área.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo.
A diferencial de área em coordenadas cartesianas é dA=dx\,dy. Ao passar para coordenadas polares há um fator de correção chamado jacobiano. Podemos calcular o jacobiano usando a matriz de derivadas parciais:
J=\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta)-(-r\sin\theta)(\sin\theta)=r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Portanto a diferencial de área transforma como
dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
(Isto significa que um pequeno retângulo em (r,\theta) corresponde a uma área aproximada r\,dr\,d\theta.)]

Passo 3

Agora vamos transformar a integranda e os limites para coordenadas polares.
A integranda x^{2}+y^{2} fica muito simples em coordenadas polares, pois
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
A região R entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=9 corresponde a valores de r entre 1 e 3. Como o anel é todo ao redor da origem, o ângulo \theta varia de 0 até 2\pi. Logo os limites são
1\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Substituindo tudo na integral e lembrando do fator r do jacobiano, obtemos a integral iterada
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{3} \underbrace{r^{2}}_{\text{integranda}} \cdot \underbrace{r}_{dA} \,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{3} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcula-se primeiro a integral interna em r. Uma primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}. Portanto
\int_{1}^{3} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{r=1}^{r=3} = \frac{3^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4} = \frac{81}{4}-\frac{1}{4} = \frac{80}{4} =20.

Passo 6

Agora a integral em \theta fica simples:
\int_{0}^{2\pi} 20\,d\theta = 20\left.\theta\right|_{0}^{2\pi} = 20\cdot(2\pi)=40\pi.
Portanto o valor da integral dupla é 40\pi. Continua calmo(a): o uso de polares transforma a conta em algo bem direto — é só lembrar do r do jacobiano e que x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Resposta

40\pi

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