Calcular \iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, sendo R a região entre as circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=9.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA,
onde R é a região entre as duas circunferências centradas na origem dadas por
x^{2}+y^{2}=1 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=9.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A região R é um anel (ou coroa circular) centrado na origem.
A circunferência interna tem raio 1.
A circunferência externa tem raio 3.
A função a integrar é x^{2}+y^{2}.
Passo 2
Para integrar sobre uma região circular, é extremamente conveniente usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que muda a diferencial de área.
Definição das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo.
A diferencial de área em coordenadas cartesianas é dA=dx\,dy. Ao passar para coordenadas polares há um fator de correção chamado jacobiano. Podemos calcular o jacobiano usando a matriz de derivadas parciais:
(Isto significa que um pequeno retângulo em (r,\theta) corresponde a uma área aproximada r\,dr\,d\theta.)]
Passo 3
Agora vamos transformar a integranda e os limites para coordenadas polares.
A integranda x^{2}+y^{2} fica muito simples em coordenadas polares, pois
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
A região R entre as circunferências \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=9 corresponde a valores de r entre 1 e 3. Como o anel é todo ao redor da origem, o ângulo \theta varia de 0 até 2\pi. Logo os limites são
1\le r\le 3,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Passo 4
Substituindo tudo na integral e lembrando do fator r do jacobiano, obtemos a integral iterada
Portanto o valor da integral dupla é 40\pi. Continua calmo(a): o uso de polares transforma a conta em algo bem direto — é só lembrar do r do jacobiano e que x^{2}+y^{2}=r^{2}.