Calcular o volume do sólido limitado por z = 0 e z = x^2 + y^2 - 9 (fazer a interpretação geométrica).

Passo 1

Oi! Vamos calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e . Esse exercício envolve princípios de cálculo integral, principalmente integrais duplas. Para resolver, vamos interpretar geometricamente as superfícies e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação representa o plano , que é simplesmente o chão. Já é uma parábola circular que se abre para cima, mas está deslocada 9 unidades para baixo no eixo . Para achar onde elas se encontram, igualamos as duas equações:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo com raio 3 no plano .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido. A parábola está abaixo do plano dentro do círculo . Portanto, o volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies dentro desse círculo.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos. Em coordenadas polares, e , e a área diferencial .
A função que representa a altura do sólido é a diferença entre as superfícies:

Passo 5

Montamos a integral dupla para o volume :
Aqui, varia de 0 a 3 (raio do círculo) e varia de 0 a (completando o círculo).

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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