Calcular o volume do sólido limitado por
(fazer a interpretação geométrica).
Passo 1
Oi! Vamos calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
. Esse exercício envolve princípios de cálculo integral, principalmente integrais duplas. Para resolver, vamos interpretar geometricamente as superfícies e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. A equação
representa o plano
, que é simplesmente o chão. Já
é uma parábola circular que se abre para cima, mas está deslocada 9 unidades para baixo no eixo
. Para achar onde elas se encontram, igualamos as duas equações:
Isso nos mostra que a interseção é um círculo com raio 3 no plano
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido. A parábola
está abaixo do plano
dentro do círculo
. Portanto, o volume que queremos calcular está entre essas duas superfícies dentro desse círculo.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos. Em coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
.
A função que representa a altura do sólido é a diferença entre as superfícies:
Passo 5
Montamos a integral dupla para o volume
:
Aqui,
varia de 0 a 3 (raio do círculo) e
varia de 0 a
(completando o círculo).
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.