Calcular a integral dupla da função f(x, y) = x(8 - x - y) usando coordenadas polares com 0 <= theta <= 2 pi e 0 <= r <= 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a função usando coordenadas polares. Basicamente, a gente vai trocar as coordenadas cartesianas (x e y) por coordenadas polares (r e ) para facilitar a integração. Vamos precisar entender como converter a função e a área de integração para polar, além de aplicar a fórmula da integral em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
E o elemento de área na integral dupla vira .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função em termos de e :

Passo 4

A integral dupla em coordenadas polares fica assim:
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica dividida em três partes:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeira parte:
Sabemos que:
Então, toda essa parte é zero.
  1. Segunda parte:
A integral de de 0 a é , e a integral de de 0 a 5 é . Então:
  1. Terceira parte:
Sabemos que:
Portanto, essa parte também é zero.

Resposta

Somando tudo, a única parte não nula é . Portanto, a integral dupla vale:

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