Calcular a integral dupla da função
usando coordenadas polares
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para a função
usando coordenadas polares. Basicamente, a gente vai trocar as coordenadas cartesianas (x e y) por coordenadas polares (r e
) para facilitar a integração. Vamos precisar entender como converter a função e a área de integração para polar, além de aplicar a fórmula da integral em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
E o elemento de área
na integral dupla vira
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
em termos de
e
:
Passo 4
A integral dupla em coordenadas polares fica assim:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica dividida em três partes:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
- Primeira parte:
Sabemos que:
Então, toda essa parte é zero.
- Segunda parte:
A integral de
de 0 a
é
, e a integral de
de 0 a 5 é
. Então:
- Terceira parte:
Sabemos que:
Portanto, essa parte também é zero.
Resposta
Somando tudo, a única parte não nula é
. Portanto, a integral dupla vale: