Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação y^2 - y * raiz(x * y) + 2 * x^2 = 10. Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função f no ponto 1,4.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função definida de forma implícita pela equação . O objetivo é encontrar a equação da reta normal ao gráfico dessa função no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar diferenciação implícita para achar a derivada , que nos dá a inclinação da tangente. Depois, usamos essa inclinação para encontrar a inclinação da reta normal e, por fim, montamos a equação da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação dada em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos , aplicamos a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de :
    • Primeiro, escrevemos como .
    • Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
    • Simplificando, temos:
  3. Derivada de é .
  4. Derivada de é .
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão para isolar .
Primeiro, coloque todos os termos com de um lado:
Fatorando :
Agora, isolamos :

Passo 4

Vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da tangente nesse ponto.
Substituindo e :
Primeiro, calcule .
Agora, substituindo na fórmula:
Então, a inclinação da tangente no ponto é .

Passo 5

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é , a normal será uma reta vertical.
Entretanto, uma reta vertical tem uma inclinação indefinida, mas sabemos que sua equação é constante. No ponto , a reta normal passa por .

Resposta

A equação da reta normal ao gráfico da função no ponto é .

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