Seja
definida implicitamente pela equação
. Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função definida de forma implícita pela equação
. O objetivo é encontrar a equação da reta normal ao gráfico dessa função no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar diferenciação implícita para achar a derivada
, que nos dá a inclinação da tangente. Depois, usamos essa inclinação para encontrar a inclinação da reta normal e, por fim, montamos a equação da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação dada em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então sempre que derivarmos
, aplicamos a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
: - Primeiro, escrevemos
como . - Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
- Simplificando, temos:
- Primeiro, escrevemos
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para isolar
.
Primeiro, coloque todos os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Vamos substituir o ponto
na derivada para encontrar a inclinação da tangente nesse ponto.
Substituindo
e
:
Primeiro, calcule
.
Agora, substituindo na fórmula:
Então, a inclinação da tangente no ponto
é
.
Passo 5
A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como a inclinação da tangente é
, a normal será uma reta vertical.
Entretanto, uma reta vertical tem uma inclinação indefinida, mas sabemos que sua equação é
constante. No ponto
, a reta normal passa por
.
Resposta
A equação da reta normal ao gráfico da função
no ponto
é
.