Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado superiormente por e inferiormente por e (Resp: u.v.)
Passo 1
Vamos calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas são positivas). Esse sólido é delimitado pela superfície superior e pelas curvas inferiores e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as regiões de integração no plano xy. As curvas e se intersectam quando e . Substituindo uma na outra, temos , ou seja, . Resolvendo , obtemos ou . Portanto, as curvas se intersectam em e .
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Observando as curvas, para , varia de até . Isso porque, para cada nesse intervalo, a curva está acima de .
Passo 4
A equação que delimita a parte superior do sólido é . Podemos resolver para para encontrar a altura em termos de e : .
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. A integral será da função sobre a região definida por e :