Calcular o volume do sólido no primeiro octante delimitado superiormente por y + z = 2 e inferiormente por y = x^2 e x = y^2 (Resp: 31/60 u.v.)

Passo 1

Vamos calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas são positivas). Esse sólido é delimitado pela superfície superior e pelas curvas inferiores e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as regiões de integração no plano xy. As curvas e se intersectam quando e . Substituindo uma na outra, temos , ou seja, . Resolvendo , obtemos x = 0 ou x = 1. Portanto, as curvas se intersectam em (0,0) e 1,1.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Observando as curvas, para 0 <= x <= 1, y varia de x^2 até raiz(x). Isso porque, para cada x nesse intervalo, a curva está acima de .

Passo 4

A equação que delimita a parte superior do sólido é . Podemos resolver para z para encontrar a altura em termos de x e y: .

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla para calcular o volume. A integral será da função sobre a região definida por 0 <= x <= 1 e :

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
Calculando cada termo separado:

Passo 8

Subtraindo os resultados:

Resposta

O volume do sólido é 31/60 unidades cúbicas.

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