integral duplaD(x-4 y^2) d A, onde D é o círculo com centro na origem e raio 2. (Resp: -16 pi )

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Precisamos calcular a integral dupla
integral duplaD(x - 4 y^2) dA,
onde D é um círculo com centro na origem e raio 2. Para resolver isso, vamos utilizar cálculo em coordenadas polares, já que a região de integração é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). As relações são:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • O elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta

Passo 3

Substituindo x e y na função que queremos integrar:
x - 4 y^2 = r cos theta - 4 (r sin theta)^2 = r cos theta - 4 r^2 sin^2 theta

Passo 4

Agora, expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD (x - 4 y^2) dA = integral0^2pi integral0^2 (r cos theta - 4 r^2 sin^2 theta) r , dr , dtheta

Passo 5

Distribuímos o r dentro da integral:
= integral0^2pi integral0^2 (r^2 cos theta - 4 r^3 sin^2 theta) dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r:
  1. Para r^2 cos theta:
integral0^2 r^2 cos theta , dr = cos theta [ r^33 ]0^2 = cos theta ( 83 ) = 83 cos theta
  1. Para -4 r^3 sin^2 theta:
-4 sin^2 theta integral0^2 r^3 , dr = -4 sin^2 theta [ r^44 ]0^2 = -4 sin^2 theta ( 4 ) = -16 sin^2 theta

Passo 7

Substituímos os resultados das integrais de r na integral original:
integral0^2pi ( 83 cos theta - 16 sin^2 theta ) dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a theta:
  1. Para 83 cos theta:
integral0^2pi 83 cos theta , dtheta = 83 [ sin theta ]0^2pi = 83 (0 - 0) = 0
  1. Para -16 sin^2 theta:
Usamos a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos 2theta2:
-16 integral0^2pi 1 - cos 2theta2 , dtheta = -8 integral0^2pi (1 - cos 2theta) , dtheta
Integrando termo a termo:
-8 [ theta - sin 2theta2 ]0^2pi = -8 ( 2pi - 0 ) = -16pi

Resposta

O valor da integral é -16 pi.

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