, onde
é o círculo com centro na origem e raio 2. (Resp:
)
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Precisamos calcular a integral dupla
onde
é um círculo com centro na origem e raio 2. Para resolver isso, vamos utilizar cálculo em coordenadas polares, já que a região de integração é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. As relações são:
-
-
- O elemento de área em coordenadas polares é
Passo 3
Substituindo
e
na função que queremos integrar:
Passo 4
Agora, expressamos a integral dupla em coordenadas polares:
Passo 5
Distribuímos o
dentro da integral:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Substituímos os resultados das integrais de
na integral original:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Usamos a identidade trigonométrica
:
Integrando termo a termo:
Resposta
O valor da integral é
.