, onde
é a região do primeiro quadrante interna ao círculo com centro na origem e raio 1 . (Resp: 3 )
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante dentro do círculo com centro na origem e raio 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a mudança para coordenadas polares, já que a região
é circular.
Passo 2
Primeiro, precisamos descrever a região
em coordenadas polares. No primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
(90 graus) e o raio
varia de
a
(pois o raio do círculo é 1).
Passo 3
Vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que:
Então:
Passo 4
A medida de área
em coordenadas polares é dada por
. Portanto, a integral dupla fica:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a integral em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Passo 7
Para resolver
, podemos usar a substituição
, então
:
Passo 8
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral dupla vale
.