integral duplaD 24 x y d A, onde D é a região do primeiro quadrante interna ao círculo com centro na origem e raio 1 . (Resp: 3 )

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante dentro do círculo com centro na origem e raio 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a mudança para coordenadas polares, já que a região é circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos descrever a região em coordenadas polares. No primeiro quadrante, o ângulo varia de a (90 graus) e o raio varia de a (pois o raio do círculo é 1).

Passo 3

Vamos converter a função x = r cos theta e y = r sin theta para coordenadas polares. Sabemos que:
24xy = 24 cdot (r cos theta) cdot (r sin theta) = 24 r^2 cos theta sin theta
Então:

Passo 4

A medida de área integral duplaD 24xy , dA = integral0^pi2 integral0^1 24 r^2 cos theta sin theta cdot r , dr , dtheta em coordenadas polares é dada por = 24 integral0^pi2 cos theta sin theta integral0^1 r^3 , dr , dtheta . Portanto, a integral dupla fica:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular a integral em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :

Passo 6

Agora, a integral fica:
24 cdot 14 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = 6 integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta

Passo 7

Para resolver integral0^pi2 cos theta sin theta , dtheta = integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12 , podemos usar a substituição , então :

Passo 8

Multiplicando tudo:
6 cdot 12 = 3

Resposta

A integral dupla vale .

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