Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por x+3 y=3, y=0, x=0, em torno do eixo x :
Passo 1
O enunciado dá a região do plano limitada por três curvas retas:
x+3y=3,
y=0,
x=0.
Pede-se calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As fronteiras são duas retas e o eixo dos x.
O eixo de rotação é o eixo x.
O objetivo é calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método: como o eixo de rotação é o eixo x e a região é limitada por uma curva que pode ser escrita como y em função de x, o método mais direto é o método dos discos (ou pratos). Explicando a ideia do método dos discos: ao cortar o sólido perpendicularmente ao eixo x por um plano x=\text{constante}, cada seção transversal é um círculo de raio igual à distância vertical da curva superior ao eixo x. A área desse círculo é \pi r^2. Integrando essas áreas ao longo do intervalo de x obtemos o volume:
Aqui \text{raio}(x) será a função y(x) que descreve a fronteira superior da região.
Passo 3
Expressar y como função de x: a reta dada é x+3y=3. Resolvendo para y,
y=\frac{3-x}{3}.
A região está entre y=0 (eixo x) e essa reta. Precisamos também dos limites em x: onde a reta cruza o eixo x (ou seja, y=0). Substituindo y=0 em x+3y=3 dá x=3. A outra fronteira em x é x=0. Logo a variação em x é de 0 a 3.
Passo 4
Montar a integral pelo método dos discos. O raio do disco em x é y(x)=\dfrac{3-x}{3}. Assim
(Verificação alternativa — método das cascas cilíndricas, opcional para checar) Uma segunda forma de pensar: usar cascas horizontais (raio = y, altura em x dada por x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=3-3y-0) com y variando de 0 a 1. A fórmula das cascas dá