Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por x+3 y=3, y=0, x=0, em torno do eixo x :

Passo 1

O enunciado dá a região do plano limitada por três curvas retas:
  • x+3y=3,
  • y=0,
  • x=0.
Pede-se calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As fronteiras são duas retas e o eixo dos x.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • O objetivo é calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método: como o eixo de rotação é o eixo x e a região é limitada por uma curva que pode ser escrita como y em função de x, o método mais direto é o método dos discos (ou pratos). Explicando a ideia do método dos discos: ao cortar o sólido perpendicularmente ao eixo x por um plano x=\text{constante}, cada seção transversal é um círculo de raio igual à distância vertical da curva superior ao eixo x. A área desse círculo é \pi r^2. Integrando essas áreas ao longo do intervalo de x obtemos o volume:
V=\int_{a}^{b} \pi \big(\text{raio}(x)\big)^2\,dx.
Aqui \text{raio}(x) será a função y(x) que descreve a fronteira superior da região.

Passo 3

Expressar y como função de x: a reta dada é x+3y=3. Resolvendo para y,
y=\frac{3-x}{3}.
A região está entre y=0 (eixo x) e essa reta. Precisamos também dos limites em x: onde a reta cruza o eixo x (ou seja, y=0). Substituindo y=0 em x+3y=3 x=3. A outra fronteira em x é x=0. Logo a variação em x é de 0 a 3.

Passo 4

Montar a integral pelo método dos discos. O raio do disco em x é y(x)=\dfrac{3-x}{3}. Assim
V=\int_{0}^{3} \pi\left(\frac{3-x}{3}\right)^2 dx.
Vamos manipular a função dentro da integral para integrar sem calculadora:
\left(\frac{3-x}{3}\right)^2=\frac{(3-x)^2}{9}=\frac{9-6x+x^2}{9}=1-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}x^2.
Portanto
V=\pi\int_{0}^{3}\left(1-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}x^2\right)dx.

Passo 5

Calcular a primitiva e avaliar a integral passo a passo. As antiderivadas termo a termo são:
\int 1\,dx = x,\qquad \int -\frac{2}{3}x\,dx = -\frac{2}{3}\cdot\frac{x^2}{2}=-\frac{1}{3}x^2, \qquad \int \frac{1}{9}x^2\,dx=\frac{1}{9}\cdot\frac{x^3}{3}=\frac{1}{27}x^3.
Logo
V=\pi\left[ x-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{27}x^3 \right]_{0}^{3}.
Avaliar em x=3:
x-\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{27}x^3\Big|_{x=3} =3-\frac{1}{3}\cdot 9+\frac{1}{27}\cdot 27 =3-3+1=1.
Em x=0 o valor é 0. Portanto a integral vale 1, e
V=\pi\cdot 1=\pi.

Passo 6

(Verificação alternativa — método das cascas cilíndricas, opcional para checar) Uma segunda forma de pensar: usar cascas horizontais (raio = y, altura em x dada por x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=3-3y-0) com y variando de 0 a 1. A fórmula das cascas dá
V=2\pi\int_{0}^{1} (\text{raio})(\text{altura})\,dy =2\pi\int_{0}^{1} y\big(3-3y\big)dy =6\pi\int_{0}^{1}\big(y-y^2\big)dy.
Calcular:
6\pi\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^1 =6\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) =6\pi\cdot\frac{1}{6}=\pi,
confirmando o resultado obtido pelo método dos discos.

Resposta

\pi

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