Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por
em torno da reta
.
Obtido com a rotação da região limitada por
Passo 1
O enunciado dá as curvas e a reta:
-
. -
. - Eixo de revolução: reta
.
O que é pedido: calcular o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas duas curvas em torno da reta
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As duas curvas intersectam-se em pontos que determinam o intervalo de integração em
. - A reta de rotação é vertical (
), então convém usar um método adequado para eixo vertical.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção entre as curvas para saber o intervalo de
da região.
Igualando as curvas:
Passando tudo para um lado:
Fatorando:
Logo as interseções são
e
. Portanto a região está entre
e
.
Para saber qual curva é a de cima (altura do retângulo típico), avalia-se a diferença:
Em
esse valor é positivo, então
é a curva superior e
é a curva inferior no intervalo
.
Passo 3
Escolha do método: como a reta de rotação é vertical (
) e a região é naturalmente descrita por
em função de
, o método dos cilindros (método das cascas cilíndricas) é o mais direto. Explicando a ideia do método das cascas:
- Tomamos uma tirinha vertical na posição
de espessura . - Ao girar essa tirinha em torno da reta
obtém-se uma casca cilíndrica de raio igual à distância entre a tirinha e a reta , altura igual à diferença entre as curvas (topo menos base) e espessura . - O volume dessa casca elementar é
Aqui:
- raio
distância de até (porque ). - altura
.
Portanto a integral do volume é
Passo 4
Simplificar o integrando para facilitar a integração. Observa-se:
Assim
Expandindo
e multiplicando por
:
Portanto
Passo 5
Calcular a integral termo a termo. Uma primitiva de cada termo é:
Logo a primitiva total é
Avalia-se de
a
:
Calculemos essa combinação com denominador comum
:
Portanto a integral vale
, e multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Interpretação final: o volume do sólido de revolução pedido é
. Força aí — esse tipo de integral costuma cair em prova; montar a casca (raio × altura) é a parte chave.