Calcular o volume do sólido de revolução:
Obtido com a rotação da região limitada por y=2 x-x^{2}, y=x em torno da reta x=1.

Passo 1

O enunciado dá as curvas e a reta:
  • y=2x-x^{2}.
  • y=x.
  • Eixo de revolução: reta x=1.
O que é pedido: calcular o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por essas duas curvas em torno da reta x=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As duas curvas intersectam-se em pontos que determinam o intervalo de integração em x.
  • A reta de rotação é vertical ( x=1), então convém usar um método adequado para eixo vertical.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção entre as curvas para saber o intervalo de x da região.
Igualando as curvas:
2x-x^{2}=x.
Passando tudo para um lado:
2x-x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x-x^{2}=0.
Fatorando:
x(1-x)=0.
Logo as interseções são \,x=0 e \,x=1. Portanto a região está entre x=0 e x=1.
Para saber qual curva é a de cima (altura do retângulo típico), avalia-se a diferença:
(2x-x^{2})-x = x-x^{2}=x(1-x).
Em 0<x<1 esse valor é positivo, então y=2x-x^{2} é a curva superior e y=x é a curva inferior no intervalo [0,1].

Passo 3

Escolha do método: como a reta de rotação é vertical ( x=1) e a região é naturalmente descrita por y em função de x, o método dos cilindros (método das cascas cilíndricas) é o mais direto. Explicando a ideia do método das cascas:
  • Tomamos uma tirinha vertical na posição x\in[0,1] de espessura \,dx.
  • Ao girar essa tirinha em torno da reta x=1 obtém-se uma casca cilíndrica de raio igual à distância entre a tirinha e a reta x=1, altura igual à diferença entre as curvas (topo menos base) e espessura \,dx.
  • O volume dessa casca elementar é
dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\;dx.
Aqui:
  • raio = distância de x até x=1 =\;|1-x|=\;1-x (porque x\in[0,1]).
  • altura =\;(2x-x^{2})-x = x-x^{2}.
Portanto a integral do volume é
V=\int_{0}^{1} 2\pi(1-x)(x-x^{2})\,dx.

Passo 4

Simplificar o integrando para facilitar a integração. Observa-se:
(1-x)(x-x^{2}) = x(1-x)^{2}.
Assim
V = 2\pi\int_{0}^{1} x(1-x)^{2}\,dx.
Expandindo (1-x)^{2}=1-2x+x^{2} e multiplicando por x:
x(1-x)^{2} = x - 2x^{2} + x^{3}.
Portanto
V = 2\pi\int_{0}^{1} \bigl(x - 2x^{2} + x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral termo a termo. Uma primitiva de cada termo é:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int -2x^{2}\,dx = -\frac{2x^{3}}{3},\qquad \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Logo a primitiva total é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}.
Avalia-se de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x - 2x^{2} + x^{3}\bigr)\,dx = F(1)-F(0) = \frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}.
Calculemos essa combinação com denominador comum 12:
\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4} = \frac{6-8+3}{12} = \frac{1}{12}.
Portanto a integral vale \dfrac{1}{12}, e multiplicando pelo fator 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.

Passo 6

Interpretação final: o volume do sólido de revolução pedido é \dfrac{\pi}{6}. Força aí — esse tipo de integral costuma cair em prova; montar a casca (raio × altura) é a parte chave.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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