Calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e y-x+z=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um tetraedro que é limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e y-x+z=1. A matéria aqui é geometria analítica, e para resolver, vamos precisar entender como encontrar os vértices desse tetraedro e depois usar uma fórmula de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde esses planos se encontram, ou seja, os vértices do tetraedro. Isso significa encontrar os pontos que são comuns a três desses planos ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos encontrar os vértices:
  1. Interseção dos planos x=0, y=0 e z=0:
    • Simplesmente, o ponto é (0, 0, 0).
  2. Interseção dos planos x=0, y=0 e y-x+z=1:
    • Substituindo x=0 e y=0 na equação: 0 - 0 + z=1 Rightarrow z=1.
    • Então, o ponto é (0, 0, 1).
  3. Interseção dos planos x=0, z=0 e y-x+z=1:
    • Substituindo x=0 e z=0: y - 0 + 0 =1 Rightarrow y=1.
    • Então, o ponto é (0, 1, 0).
  4. Interseção dos planos y=0, z=0 e y-x+z=1:
    • Substituindo y=0 e z=0: 0 - x + 0 =1 Rightarrow x=-1.
    • Então, o ponto é (-1, 0, 0).

Passo 4

Agora que temos os quatro vértices do tetraedro: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) e (-1, 0, 0), vamos usar a fórmula do volume do tetraedro baseada no determinante:
V = 16 | det x2 - x1 & y2 - y1 & z2 - z1 x3 - x1 & y3 - y1 & z3 - z1 x4 - x1 & y4 - y1 & z4 - z1 |

Passo 5

Vamos escolher o ponto (0, 0, 0) como P1 e calcular as diferenças:

$$
0 - 0 & 0 - 0 & 1 - 0 0 - 0 & 1 - 0 & 0 - 0 -1 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0

det = 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) - 0 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 0) + 1 cdot (0 cdot 0 - (-1) cdot 1) = 0 - 0 + 1 = 1
$$
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 6

Finalmente, aplicando na fórmula do volume:
V = 16 times |1| = 16

Resposta

O volume do tetraedro é igual a dfrac16 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados