Calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um tetraedro que é limitado pelos planos , , e . A matéria aqui é geometria analítica, e para resolver, vamos precisar entender como encontrar os vértices desse tetraedro e depois usar uma fórmula de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde esses planos se encontram, ou seja, os vértices do tetraedro. Isso significa encontrar os pontos que são comuns a três desses planos ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos encontrar os vértices:
Interseção dos planos , e :
Simplesmente, o ponto é .
Interseção dos planos , e :
Substituindo e na equação: .
Então, o ponto é .
Interseção dos planos , e :
Substituindo e : .
Então, o ponto é .
Interseção dos planos , e :
Substituindo e : .
Então, o ponto é .
Passo 4
Agora que temos os quatro vértices do tetraedro: , , e , vamos usar a fórmula do volume do tetraedro baseada no determinante:
Passo 5
Vamos escolher o ponto (0, 0, 0) como P1 e calcular as diferenças: