Avaliar, usando o teorema de Green, a seguinte integral: integralgamma(2 x^3-y^3) d x+(x^3+y^3) d y onde gamma é o círculo unitário na origem descrito em sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha dada:
integralgamma (2x^3 - y^3) dx + (x^3 + y^3) dy
Aqui, gamma é o círculo unitário no plano, centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada no plano em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula geral do Teorema de Green é:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde:
  • P e Q são funções das variáveis x e y.
  • D é a região limitada pela curva gamma.
  • partial Qpartial x e partial Ppartial y são as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y, respectivamente.
No nosso caso, identificamos:
  • P = 2x^3 - y^3
  • Q = x^3 + y^3

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + y^3) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y (2x^3 - y^3) = -3y^2
Então, a diferença dessas derivadas é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2

Passo 4

Agora, vamos substituir isso na integral dupla do Teorema de Green:
integral duplaD (3x^2 + 3y^2) dA = 3 integral duplaD (x^2 + y^2) dA
Como D é o círculo unitário centrado na origem, é mais fácil resolver essa integral em coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • dA = r,dr,dtheta
Além disso, x^2 + y^2 = r^2. Então, a integral fica:
3 integral duplaD r^2 cdot r,dr,dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 r^3,dr,dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 r^3,dr = [ r^44 ]0^1 = 14
Agora, a integral externa:
3 integral0^2pi 14,dtheta = 34 integral0^2pi dtheta = 34 cdot 2pi = 3pi2

Resposta

O valor da integral é dfrac3pi2.

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