Avaliar, usando o teorema de Green, a seguinte integral:
onde
é o círculo unitário na origem descrito em sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha dada:
Aqui,
é o círculo unitário no plano, centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos permite transformar uma integral de linha ao redor de uma curva fechada no plano em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula geral do Teorema de Green é:
Onde:
-
e são funções das variáveis e . -
é a região limitada pela curva . -
e são as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , respectivamente.
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença dessas derivadas é:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso na integral dupla do Teorema de Green:
Como
é o círculo unitário centrado na origem, é mais fácil resolver essa integral em coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Além disso,
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.