Inverter a ordem de integração em I= integral0^1 integral0^raiz2-x 2 f(x, y) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração no integral duplo $ I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{2 - x^2}} f(x, y) , dy , dx $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integrais múltiplos. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrevê-la mudando a ordem das variáveis de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde estamos integrando. O integral atual vai de $ x = 0 $ até $ x = 1 $, e para cada $ x $, $ y $ vai de $ 0 $ até $ \sqrt{2 - x^2} $. Isso significa que a região está limitada pela curva $ y = \sqrt{2 - x^2} $, que é parte de um círculo de raio $ \sqrt{2} $ centrado na origem.

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Para isso, precisamos determinar os limites de $ x $ em função de $ y $. Observando a curva $ y = \sqrt{2 - x^2} $, podemos resolver para $ x $:
x
Assim, para um valor fixo de $ y $, $ x $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{2 - y^2} $.

Passo 4

Também precisamos determinar os limites de $ y $. Pela região original, quando $ x = 0 $, $ y $ vai até $ \sqrt{2} $. E como $ x $ vai até $ 1 $, o $ y $ máximo ainda é $ \sqrt{2} $. Portanto, $ y $ vai de $ 0 $ até $ \sqrt{2} $.

Passo 5

Com esses novos limites, podemos reescrever o integral invertendo a ordem de integração:
I = integral0^raiz2 integral0^raiz2 - y^2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é
I = integral0^raiz2 integral0^raiz2 - y^2 f(x, y) , dx , dy

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