Calcular y^prime=d yd x das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t, y^prime esta definida?
lx=(cos t)^3 y=(sen t)^3, t in(-pi2, 0)

Passo 1

O enunciado dá a curva no plano em forma paramétrica
x=(cos t)^3, y=(sin t)^3, tinl(-tfracpi2,0r),
e pede y'=dydx. O conteúdo é derivada de curva paramétrica, usando a regra
dydx=dydtdxdt,
desde que dxdtneq 0.

Passo 2

Calcular dxdt. Como x=(cos t)^3, aplicamos a regra da cadeia:
dxdt=3(cos t)^2cdotddt(cos t) =3(cos t)^2cdot(-sin t) =-3(cos t)^2sin t

Passo 3

Calcular dydt. Como y=(sin t)^3, de modo análogo:
dydt=3(sin t)^2cdotddt(sin t) =3(sin t)^2cos t

Passo 4

Formar a razão dydx e simplificar:
y'=dydtdxdt =3(sin t)^2cos t-3(cos t)^2sin t =-(sin t)^2cos t(cos t)^2sin t =-sin tcos t =-tan t

Passo 5

Verificar onde y' está definida. Precisamos de dxdtneq 0, ou seja
-3(cos t)^2sin tneq 0 Long<=ftrightarrow cos tneq 0; e ;sin tneq 0
No intervalo tin(-tfracpi2,0) temos cos t>0 e sin t<0, ambos diferentes de zero. Logo dxdtneq0 em todo o intervalo, e tan t também está bem-definido pois cos tneq0.

Resposta

y'=-tan t,
definida para todo tinl(-tfracpi2,0r).

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