Mostre pela definição que:
lim x -infty x^2=+infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar pela definição que
limxto -infty x^2 = +infty
Estamos tratando de um limite que diverge para +infty quando x vai para -infty. Vamos usar a definição formal desse tipo de limite.

Passo 2

Definição. Dizemos que
limxto -infty f(x) = +infty
se, para todo M>0, existe um número A<0 tal que, sempre que x<A, então f(x)>M.

Passo 3

No nosso caso f(x)=x^2. Dado um M>0, queremos garantir que
x^2 > M
sempre que x<A para alguma escolha de A<0.

Passo 4

Como x<A<0 implica x<0, temos lvert xrvert=-x. Logo,
x^2> M Long<=ftrightarrow lvert xrvert > raizM Long<=ftrightarrow -x > raizM Long<=ftrightarrow x < -raizM
Basta escolher
A = -raizM
Note que raizM>0 implica A<0. Então, sempre que x<A, ou seja x<-raizM, obtemos x^2>M.

Resposta

Pela definição de limite para +infty em xto -infty, vimos que para todo M>0 podemos tomar A=-raizM e garantir x^2>M sempre que x<A. Portanto
limxto -infty x^2 = +infty

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