Calcular y^{\prime} :
y=(\operatorname{arcsen} 2 x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(\arcsin(2x)\bigr)^{2}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a uma função composta e a fórmula da derivada de \arcsin(z).

Passo 2

Definimos
u = \arcsin(2x), \quad y = u^{2}.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = 2u \,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Para \frac{du}{dx}, usamos
\frac{d}{dz}\bigl(\arcsin(z)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{1 - z^{2}}},
com z = 2x. Logo,
\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^{2}}}\,\frac{d}{dx}(2x) = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}.

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = 2\,\bigl(\arcsin(2x)\bigr)\,\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} = \frac{4\,\arcsin(2x)}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}.

Resposta

y' = \frac{4\,\arcsin(2x)}{\sqrt{1 - 4x^{2}}}.

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