Calcular y^{\prime} :
y=x t g^{-1}(4 x),

Passo 1

O enunciado dá y = x \,\arctan(4x) e pede y'. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em y = x \cdot \arctan(4x), temos:
y' = 1\cdot \arctan(4x) \;+\; x\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\arctan(4x)\bigr).

Passo 3

Para calcular \frac{d}{dx}\bigl(\arctan(4x)\bigr), usamos a regra da cadeia: derivada de \arctan(u) é \tfrac{u'}{1+u^2}. Aqui u=4x, então u'=4, logo
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(4x)\bigr) = \frac{4}{1+(4x)^2} = \frac{4}{1+16x^2}.

Passo 4

Substituindo esse resultado em y', obtemos:
y' = \arctan(4x) \;+\; x \cdot \frac{4}{1+16x^2} = \arctan(4x) + \frac{4x}{1+16x^2}.

Resposta

y' = \arctan(4x) + \frac{4x}{1+16x^2}.

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