Calcular y^{\prime} :
y=\ln (\operatorname{cossec} 5 x),

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \ln\bigl(\operatorname{cossec}(5x)\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia em três níveis:
  1. Derivada de \ln(u).
  2. Derivada de \operatorname{cossec}(t).
  3. Derivada de 5x.

Passo 2

Aplicando a derivada de \ln(u), que é
\frac{d}{dx}\ln(u) = \frac{u'}{u},
temos
y' = \frac{\bigl(\operatorname{cossec}(5x)\bigr)'}{\operatorname{cossec}(5x)}.

Passo 3

Agora derivamos \operatorname{cossec}(5x). Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{cossec}(t)\bigr) = -\operatorname{cossec}(t)\,\cot(t).
E pelo fator interno t=5x vem mais um multiplicador 5. Logo,
\bigl(\operatorname{cossec}(5x)\bigr)' = -5\,\operatorname{cossec}(5x)\,\cot(5x).

Passo 4

Substituindo em y':
y' = \frac{-5\,\operatorname{cossec}(5x)\,\cot(5x)}{\operatorname{cossec}(5x)} = -5\,\cot(5x).

Resposta

y' = -5\,\cot(5x).

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