Calcular y^{\prime} :
y=\frac{\sqrt{x+1}(2-x)^{5}}{(x+3)^{7}}\,

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}}{(x+3)^{7}}.
Como temos produtos e quociente de potências, é conveniente usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Defina
L = \ln y = \frac12\ln(x+1) \;+\;5\ln(2-x)\;-\;7\ln(x+3).
Derivando em relação a x, usando \frac{d}{dx}\ln u = u'/u:
L' = \frac12\cdot\frac1{x+1} \;+\;5\cdot\frac{-1}{2-x}\;-\;7\cdot\frac1{x+3} =\frac1{2(x+1)}-\frac5{2-x}-\frac7{x+3}.

Passo 3

Como y' = y\,L', basta multiplicar L' por y:
y' = \frac{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}}{(x+3)^{7}}\;\Bigl(\frac1{2(x+1)}-\frac5{2-x}-\frac7{x+3}\Bigr).

Resposta

y' = \frac{\sqrt{x+1}\,(2-x)^{5}}{(x+3)^{7}}\Bigl(\frac1{2(x+1)}-\frac5{2-x}-\frac7{x+3}\Bigr).

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