Calculate the volume of a balloon with a lifting force of 200 kg at 25^{\circ} \mathrm{C} and 1 atm if the balloon is filled with (a) hydrogen. Assume that air is 80 \% \mathrm{N}_{2}, 20 \% \mathrm{O}_{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o volume de um balão, à temperatura \,25^\circ\mathrm{C}\, e pressão \,1\\ \mathrm{atm}\,, que proporciona força de levantamento suficiente para suportar uma massa de \,200\\ \mathrm{kg}\, quando o balão é preenchido com hidrogênio. Foi dada a composição do ar como \,80\%\\ \mathrm{N_2} e \,20\%\\ \mathrm{O_2} (assumir que essas percentagens são frações molares).
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa a ser sustentada: \,m=200\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura: \,T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: \,P=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Composição do ar (frações molares): \,x_{\mathrm{N_2}}=0{,}80, \,x_{\mathrm{O_2}}=0{,}20.
  • Mmassa molar aproximada: \,M_{\mathrm{N_2}}=28{,}0134\\ \mathrm{g/mol}, \,M_{\mathrm{O_2}}=31{,}9988\\ \mathrm{g/mol}, \,M_{\mathrm{H_2}}=2{,}01588\\ \mathrm{g/mol}.
  • Constante universal dos gases: \,R=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
O que devemos encontrar: o volume \,V do balão (em \mathrm{m^3}) tal que a força de empuxo líquida possibilite levantar \,200\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Princípio físico e equação básica (explicação didática).
  • Pelo princípio de Arquimedes, a força de empuxo no balão é igual ao peso do ar deslocado: \,F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{ar}} V g, onde \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar, V o volume deslocado e g a aceleração da gravidade.
  • O balão contém hidrogênio cuja própria massa gera um peso \rho_{\mathrm{H_2}} V g.
  • A força de levantamento líquida (capacidade de sustentar massa) é a diferença:
F_{\text{líquida}}=(\rho_{\text{ar}}-\rho_{\mathrm{H_2}}) V g.í
  • Para suportar uma massa m é necessário que F_{\text{líquida}} = m gí. Cancelando g dos dois lados (mesma gravidade), obtemos a relação prática para o volume:
V=\frac{m}{\rho_{\text{ar}}-\rho_{\mathrm{H_2}}}.
Comentário: esta fórmula é muito útil na prova porque elimina a necessidade de conhecer g; basta saber as densidades.

Passo 3

Como obter as densidades \rho_{\text{ar}} e \rho_{\mathrm{H_2}} usando o modelo de gás ideal (a prova normalmente aceita esse modelo).
  • Para um gás ideal vale a lei dos gases:
PV=nRT,
onde n é o número de mols. A densidade \rho (massa por volume) relaciona-se com a massa molar M por
\rho=\frac{m}{V}=\frac{nM}{V}=\frac{PM}{RT}.
Aqui:
  • \rho é a densidade do gás ( \mathrm{kg/m^3}),
  • P é a pressão ( \mathrm{Pa}),
  • M é a massa molar do gás ( \mathrm{kg/mol}),
  • R é a constante dos gases ( \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).
  • Logo, para cada gás que precisamos:
\rho = \frac{P M}{R T}.
Explicação simples: a densidade aumenta com a pressão e com a massa molar e diminui com a temperatura.

Passo 4

Calcular a massa molar média do ar (mistura \mathrm{N_2} e \mathrm{O_2}, usar fração molar).
  • Converter massas molares para \mathrm{kg/mol}:
    • \,M_{\mathrm{N_2}}=28{,}0134\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0280134\\ \mathrm{kg/mol}.
    • \,M_{\mathrm{O_2}}=31{,}9988\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0319988\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Massa molar média do ar:
M_{\text{ar}}=x_{\mathrm{N_2}}M_{\mathrm{N_2}}+x_{\mathrm{O_2}}M_{\mathrm{O_2}}.
  • Substituindo:
M_{\text{ar}}=0{,}80\cdot0{,}0280134 + 0{,}20\cdot0{,}0319988.
Calcule passo a passo:
0{,}80\cdot0{,}0280134 = 0{,}02241072,
0{,}20\cdot0{,}0319988 = 0{,}00639976,
M_{\text{ar}}=0{,}02241072 + 0{,}00639976 = 0{,}02881048\\ \mathrm{kg/mol}.

Passo 5

Calcular as densidades pelo gás ideal.
  • Temperatura e pressão já listadas: \,T=298{,}15\\ \mathrm{K}, \,P=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Para o ar:
\rho_{\text{ar}}=\frac{P M_{\text{ar}}}{R T} =\frac{101325\cdot0{,}02881048}{8{,}314462618\cdot298{,}15}.
Fazendo os produtos:
101325\cdot0{,}02881048 \approx 2919{,}99
e
8{,}314462618\cdot298{,}15 \approx 2478{,}97.
Portanto
\rho_{\text{ar}}\approx\frac{2919{,}99}{2478{,}97}\approx1{,}1785\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Para o hidrogênio:
    • Converter massa molar: \,M_{\mathrm{H_2}}=2{,}01588\\ \mathrm{g/mol}=0{,}00201588\\ \mathrm{kg/mol}.
\rho_{\mathrm{H_2}}=\frac{P M_{\mathrm{H_2}}}{R T} =\frac{101325\cdot0{,}00201588}{8{,}314462618\cdot298{,}15}.
Calcule os produtos:
101325\cdot0{,}00201588 \approx 204{,}26,
\rho_{\mathrm{H_2}}\approx\frac{204{,}26}{2478{,}97}\approx0{,}08243\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Diferença das densidades (que determina o “empuxo por volume”):
\rho_{\text{ar}}-\rho_{\mathrm{H_2}}\approx1{,}1785-0{,}08243=1{,}09607\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 6

Calcular o volume necessário usando a fórmula do Passo 2.
V=\frac{m}{\rho_{\text{ar}}-\rho_{\mathrm{H_2}}} =\frac{200}{1{,}09607}.
Efetuando a divisão:
V\approx182{,}47\\ \mathrm{m^3}.
Arredondando de forma plausível, pode-se usar \,V\approx182{,}5\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

Interpretação e dica para a prova: o resultado significa que um balão de aproximadamente \,1{,}8\times10^{2}\\ \mathrm{m^3}\, cheio de hidrogênio, nas condições dadas, tem empuxo líquido suficiente para levantar \,200\\ \mathrm{kg} (descontando o peso do próprio hidrogênio). Na prova, siga sempre os mesmos passos: (1) escreva a equação do empuxo; (2) passe para densidades usando gás ideal; (3) calcule massas molares de misturas por frações molares; (4) plugue e resolva.

Resposta

V \approx 182{,}5\\ \mathrm{m^3}

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