Calculate the volume of a balloon with a lifting force of 200 kg at
and 1 atm if the balloon is filled with (a) hydrogen. Assume that air is
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o volume de um balão, à temperatura
e pressão
, que proporciona força de levantamento suficiente para suportar uma massa de
quando o balão é preenchido com hidrogênio. Foi dada a composição do ar como
e
(assumir que essas percentagens são frações molares).
Informações relevantes fornecidas:
- Massa a ser sustentada:
. - Temperatura:
. - Pressão:
. - Composição do ar (frações molares):
, . - Mmassa molar aproximada:
, , . - Constante universal dos gases:
.
O que devemos encontrar: o volume
do balão (em
) tal que a força de empuxo líquida possibilite levantar
.
Passo 2
Princípio físico e equação básica (explicação didática).
- Pelo princípio de Arquimedes, a força de empuxo no balão é igual ao peso do ar deslocado:
, onde é a densidade do ar, o volume deslocado e a aceleração da gravidade. - O balão contém hidrogênio cuja própria massa gera um peso
. - A força de levantamento líquida (capacidade de sustentar massa) é a diferença:
- Para suportar uma massa
é necessário que . Cancelando dos dois lados (mesma gravidade), obtemos a relação prática para o volume:
Comentário: esta fórmula é muito útil na prova porque elimina a necessidade de conhecer
; basta saber as densidades.
Passo 3
Como obter as densidades
e
usando o modelo de gás ideal (a prova normalmente aceita esse modelo).
- Para um gás ideal vale a lei dos gases:
onde
é o número de mols. A densidade
(massa por volume) relaciona-se com a massa molar
por
Aqui:
-
é a densidade do gás ( ), -
é a pressão ( ), -
é a massa molar do gás ( ), -
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta ( ). - Logo, para cada gás que precisamos:
Explicação simples: a densidade aumenta com a pressão e com a massa molar e diminui com a temperatura.
Passo 4
Calcular a massa molar média do ar (mistura
e
, usar fração molar).
- Converter massas molares para
: -
. -
.
-
- Massa molar média do ar:
- Substituindo:
Calcule passo a passo:
Passo 5
Calcular as densidades pelo gás ideal.
- Temperatura e pressão já listadas:
, . - Para o ar:
Fazendo os produtos:
e
Portanto
- Para o hidrogênio:
- Converter massa molar:
.
- Converter massa molar:
Calcule os produtos:
- Diferença das densidades (que determina o “empuxo por volume”):
Passo 6
Calcular o volume necessário usando a fórmula do Passo 2.
Efetuando a divisão:
Arredondando de forma plausível, pode-se usar
.
Passo 7
Interpretação e dica para a prova: o resultado significa que um balão de aproximadamente
cheio de hidrogênio, nas condições dadas, tem empuxo líquido suficiente para levantar
(descontando o peso do próprio hidrogênio). Na prova, siga sempre os mesmos passos: (1) escreva a equação do empuxo; (2) passe para densidades usando gás ideal; (3) calcule massas molares de misturas por frações molares; (4) plugue e resolva.