At 273.15 K the density of nitric oxide at various pressures was found to be:
P(\mathrm{~atm}) 1.0000 0.8000 0.5000 0.3000
\rho\left(\mathrm{~g} \cdot \mathrm{dm}^{-3}\right) 1.3402 1.0719 0.66973 0.40174
Calculate (\rho / P) at each pressure and determine an exact value for the atomic weight of nitrogen from the limiting value of (\rho / P) as P \rightarrow 0. Take the atomic weight of oxygen as 15.9994.

Passo 1

O enunciado dá medidas da densidade de óxido nítrico (NO) à temperatura 273{,}15\\ \text{K} a quatro pressões e pede duas coisas:
  • Calcular \rho/P em cada pressão (onde \rho está em \mathrm{g\cdot dm^{-3}} e P em \mathrm{atm}).
  • A partir do valor limite de \rho/P quando P\to0 (ou seja, no limite ideal), determinar o valor do peso atômico do nitrogênio, sabendo que o peso atômico do oxigênio é 15{,}9994.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • T=273{,}15\\ \text{K}.
  • Tabela:
    • P=1{,}0000\\ \mathrm{atm}, \rho=1{,}3402\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}}.
    • P=0{,}8000\\ \mathrm{atm}, \rho=1{,}0719\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}}.
    • P=0{,}5000\\ \mathrm{atm}, \rho=0{,}66973\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}}.
    • P=0{,}3000\\ \mathrm{atm}, \rho=0{,}40174\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}}.
O que vamos fazer:
  1. Calcular \rho/P para cada linha.
  2. Extrapolar \rho/P para P\to0 (limite ideal) usando uma regressão linear simples em \rho/P vs P (os dados mostram variação pequena, então ajuste linear é adequado).
  3. Usar a relação do gás ideal para obter a massa molar de NO a partir do limite \displaystyle\lim_{P\to0}\frac{\rho}{P}.
  4. Subtrair a massa do oxigênio para obter o peso atômico do nitrogênio.

Passo 2

Calcular \rho/P em cada pressão. Isso é só dividir a densidade pela pressão; unidades ficam \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}.
\frac{\rho}{P}\Big|_{P=1{,}0000}=\frac{1{,}3402}{1{,}0000}=1{,}3402
\frac{\rho}{P}\Big|_{P=0{,}8000}=\frac{1{,}0719}{0{,}8000}=1{,}339875
\frac{\rho}{P}\Big|_{P=0{,}5000}=\frac{0{,}66973}{0{,}5000}=1{,}339460
\frac{\rho}{P}\Big|_{P=0{,}3000}=\frac{0{,}40174}{0{,}3000}=1{,}339133\overline{3}
Observação curta: os quatro valores são muito próximos, e parecem tender a um valor limite quando P diminui.

Passo 3

Explicar a relação físico-matemática que usamos para ligar \rho/P ao peso molecular.
Para um gás ideal a equação de estado é \,P V = n R T\,, onde
  • P é a pressão (aqui em \mathrm{atm}),
  • V é o volume (em \mathrm{dm^{3}}),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases (usaremos R=0{,}082057366\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin.
A densidade \rho (em \mathrm{g\cdot dm^{-3}}) relaciona-se com a massa m por \rho=m/V. Para n mols, a massa m=nM, onde M é a massa molar (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}). Então
\rho=\frac{m}{V}=\frac{nM}{V}.
Da equação de estado n/V = P/(R T). Substituindo:
\rho = M\frac{P}{R T}.
Rearranjando:
\frac{\rho}{P}=\frac{M}{R T}.
Portanto, no limite ideal ( P\to0), \rho/P tende a uma constante igual a M/(R T). Assim a massa molar do gás é
M = \left(\frac{\rho}{P}\right)_{P\to0} R T.
Unidades checam: \left[\frac{\rho}{P}\right]=\frac{\mathrm{g\cdot dm^{-3}}}{\mathrm{atm}}=\mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}. Multiplicando por R\\ (\mathrm{dm^{3}\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}}) e T\\ (\mathrm{K}) resulta em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, que é o que queremos.
No nosso caso, note que para T=273{,}15\\ \text{K} vale numericamente R T = 0{,}082057366\times273{,}15 \approx 22{,}414\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,mol^{-1}} (volume molar padrão).

Passo 4

Extrapolar \rho/P para P\to0. Como os valores de \rho/P variam muito pouco com P, fazemos um ajuste linear simples
y = y_0 + aP,
onde y=\rho/P. O intercepto y_0 em P=0 é o nosso \displaystyle\lim_{P\to0}\frac{\rho}{P}.
Fazer regressão linear (mínimos quadrados) com os quatro pontos (P,y):
  • P : 1{,}0000,\\\ 0{,}8000,\\\ 0{,}5000,\\\ 0{,}3000.
  • y : 1{,}3402,\\\ 1{,}339875,\\\ 1{,}339460,\\\ 1{,}339133\overline{3}.
Cálculos úteis (somados a partir dos dados):
n=4, \quad \sum P = 2{,}6, \quad \sum y = 5{,}358668333\ldots, \quad \sum P^2 = 1{,}98, \quad \sum P y = \sum \rho = 3{,}48357.
Fórmula do coeficiente angular a:
a=\frac{n\sum(Py)-(\sum P)(\sum y)}{n\sum P^2 - (\sum P)^2}.
Substituindo os números:
a=\frac{4\cdot3{,}48357 - 2{,}6\cdot5{,}358668333}{4\cdot1{,}98 - (2{,}6)^2} \approx 0{,}001501.
Intercepto y_0:
y_0=\frac{\sum y - a\sum P}{n} \approx 1{,}3386908.
Assim o valor extrapolado é
\left(\frac{\rho}{P}\right)_{P\to0}=y_0\approx 1{,}3386908\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}.
(Comentário rápido e amigável: os cálculos acima são uma regressão linear simples com quatro pontos; como os dados são quase ideais, o ajuste é muito pequeno e o intercepto fica perto dos valores observados em baixas pressões.)

Passo 5

Calcular a massa molar de NO a partir do valor limite.
Usamos \displaystyle M = \left(\frac{\rho}{P}\right)_{P\to0} R T.
Com R T \approx 22{,}414\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,mol^{-1}} em 273{,}15\\ \text{K} e y_0\approx 1{,}3386908,
M \approx 1{,}3386908 \times 22{,}414 \approx 30{,}00545\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Esse é o peso molecular experimental do NO.

Passo 6

Obter o peso atômico do nitrogênio.
Se a massa molar de NO é M(\mathrm{NO}) então M(\mathrm{NO}) = A(\mathrm{N}) + A(\mathrm{O}). Portanto
A(\mathrm{N}) = M(\mathrm{NO}) - A(\mathrm{O}).
Substituindo A(\mathrm{O})=15{,}9994 e M(\mathrm{NO})\approx30{,}00545:
A(\mathrm{N}) \approx 30{,}00545 - 15{,}9994 = 14{,}00605\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Arredondando razoavelmente (os dados experimentais têm cerca de 5 dígitos), podemos escrever A(\mathrm{N})\approx 14{,}0061.

Resposta

\displaystyle \frac{\rho}{P}\Big|_{1{,}0000\\ \mathrm{atm}}=1{,}3402\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}
\displaystyle \frac{\rho}{P}\Big|_{0{,}8000\\ \mathrm{atm}}=1{,}339875\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}
\displaystyle \frac{\rho}{P}\Big|_{0{,}5000\\ \mathrm{atm}}=1{,}339460\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}
\displaystyle \frac{\rho}{P}\Big|_{0{,}3000\\ \mathrm{atm}}=1{,}339133\overline{3}\\ \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}
A(\mathrm{N})\approx 14{,}0061\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}

Exercícios relacionados