Calculate (\rho / P) at each pressure and determine an exact value for the atomic weight of nitrogen from the limiting value of (\rho / P) as P \rightarrow 0. Take the atomic weight of oxygen as 15.9994.
Passo 1
O enunciado dá medidas da densidade de óxido nítrico (NO) à temperatura 273{,}15\\ \text{K} a quatro pressões e pede duas coisas:
Calcular \rho/P em cada pressão (onde \rho está em \mathrm{g\cdot dm^{-3}} e P em \mathrm{atm}).
A partir do valor limite de \rho/P quando P\to0 (ou seja, no limite ideal), determinar o valor do peso atômico do nitrogênio, sabendo que o peso atômico do oxigênio é 15{,}9994.
Extrapolar \rho/P para P\to0 (limite ideal) usando uma regressão linear simples em \rho/P vs P (os dados mostram variação pequena, então ajuste linear é adequado).
Usar a relação do gás ideal para obter a massa molar de NO a partir do limite \displaystyle\lim_{P\to0}\frac{\rho}{P}.
Subtrair a massa do oxigênio para obter o peso atômico do nitrogênio.
Passo 2
Calcular \rho/P em cada pressão. Isso é só dividir a densidade pela pressão; unidades ficam \mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}.
Observação curta: os quatro valores são muito próximos, e parecem tender a um valor limite quando P diminui.
Passo 3
Explicar a relação físico-matemática que usamos para ligar \rho/P ao peso molecular.
Para um gás ideal a equação de estado é \,P V = n R T\,, onde
P é a pressão (aqui em \mathrm{atm}),
V é o volume (em \mathrm{dm^{3}}),
n é o número de mols,
R é a constante dos gases (usaremos R=0{,}082057366\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}}),
T é a temperatura em kelvin.
A densidade \rho (em \mathrm{g\cdot dm^{-3}}) relaciona-se com a massa m por \rho=m/V. Para n mols, a massa m=nM, onde M é a massa molar (em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}). Então
\rho=\frac{m}{V}=\frac{nM}{V}.
Da equação de estado n/V = P/(R T). Substituindo:
\rho = M\frac{P}{R T}.
Rearranjando:
\frac{\rho}{P}=\frac{M}{R T}.
Portanto, no limite ideal (P\to0), \rho/P tende a uma constante igual a M/(R T). Assim a massa molar do gás é
M = \left(\frac{\rho}{P}\right)_{P\to0} R T.
Unidades checam: \left[\frac{\rho}{P}\right]=\frac{\mathrm{g\cdot dm^{-3}}}{\mathrm{atm}}=\mathrm{g\cdot dm^{-3}\cdot atm^{-1}}. Multiplicando por R\\ (\mathrm{dm^{3}\,atm\,K^{-1}\,mol^{-1}}) e T\\ (\mathrm{K}) resulta em \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, que é o que queremos.
No nosso caso, note que para T=273{,}15\\ \text{K} vale numericamente R T = 0{,}082057366\times273{,}15 \approx 22{,}414\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,mol^{-1}} (volume molar padrão).
Passo 4
Extrapolar \rho/P para P\to0. Como os valores de \rho/P variam muito pouco com P, fazemos um ajuste linear simples
y = y_0 + aP,
onde y=\rho/P. O intercepto y_0 em P=0 é o nosso \displaystyle\lim_{P\to0}\frac{\rho}{P}.
Fazer regressão linear (mínimos quadrados) com os quatro pontos (P,y):
P : 1{,}0000,\\\ 0{,}8000,\\\ 0{,}5000,\\\ 0{,}3000.
y : 1{,}3402,\\\ 1{,}339875,\\\ 1{,}339460,\\\ 1{,}339133\overline{3}.
Cálculos úteis (somados a partir dos dados):
n=4, \quad \sum P = 2{,}6, \quad \sum y = 5{,}358668333\ldots, \quad \sum P^2 = 1{,}98, \quad \sum P y = \sum \rho = 3{,}48357.
(Comentário rápido e amigável: os cálculos acima são uma regressão linear simples com quatro pontos; como os dados são quase ideais, o ajuste é muito pequeno e o intercepto fica perto dos valores observados em baixas pressões.)
Passo 5
Calcular a massa molar de NO a partir do valor limite.
Usamos \displaystyle M = \left(\frac{\rho}{P}\right)_{P\to0} R T.
Com R T \approx 22{,}414\\ \mathrm{dm^{3}\,atm\,mol^{-1}} em 273{,}15\\ \text{K} e y_0\approx 1{,}3386908,
M \approx 1{,}3386908 \times 22{,}414 \approx 30{,}00545\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Esse é o peso molecular experimental do NO.
Passo 6
Obter o peso atômico do nitrogênio.
Se a massa molar de NO é M(\mathrm{NO}) então M(\mathrm{NO}) = A(\mathrm{N}) + A(\mathrm{O}). Portanto
A(\mathrm{N}) = M(\mathrm{NO}) - A(\mathrm{O}).
Substituindo A(\mathrm{O})=15{,}9994 e M(\mathrm{NO})\approx30{,}00545: