The surface tensions of pure liquids fit quite well the empirical equation
\gamma=\gamma_{0}\left(1-T_{R}\right)^{11 / 9}
where T_{R} is the reduced temperature and \gamma_{0} is a constant. For liquid \mathrm{CS}_{2} we have
\theta\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) -60 -50 -40 -30
\gamma\left(\right. dyne \left.\cdot \mathrm{cm}^{-1}\right) 31.2 29.2 27.3 25.4
Calculate \gamma_{0} and T_{c}, and compare T_{c} with the experimental value 546.2 K .

Passo 1

O enunciado dá a lei empírica
\gamma=\gamma_{0}\left(1-T_{R}\right)^{11/9},
e uma tabela de valores para o líquido \mathrm{CS}_2:
  • Temperaturas em graus Celsius: -60,\\\ -50,\\\ -40,\\\ -30.
  • Tensão superficial em \mathrm{dyne}\cdot\mathrm{cm}^{-1}: 31{,}2,\\\ 29{,}2,\\\ 27{,}3,\\\ 25{,}4.
O que o problema pede:
  1. Calcular \gamma_{0}.
  2. Calcular T_{c} (a temperatura crítica) e comparar com o valor experimental 546{,}2\\ \text{K}.
Observações úteis extraídas do enunciado (vou usar essas informações nos passos seguintes):
  • A variável reduzida T_{R} é a temperatura absoluta reduzida; aqui usamos a definição usual T_{R}=T/T_{c}, com T em kelvin e T_{c} a temperatura crítica em kelvin.
  • Portanto a lei pode ser escrita como
\gamma=\gamma_{0}\left(1-\frac{T}{T_{c}}\right)^{11/9}.

Passo 2

Estratégia de resolução (motivo da escolha do método): a expressão tem uma potência (\cdot)^{11/9}. Podemos linearizar aplicando a potência recíproca 9/11 para obter uma relação linear em T, o que facilita encontrar \gamma_{0} e T_{c} por ajuste linear simples (mínimos quadrados) usando os quatro pontos fornecidos. Esta transformação é algebraica e evita resolver diretamente uma equação não-linear.
Faço a transformação algebraica:
\gamma=\gamma_{0}\left(1-\frac{T}{T_{c}}\right)^{11/9}
elevar ambos os lados à potência 9/11:
\gamma^{9/11}=\gamma_{0}^{9/11}\left(1-\frac{T}{T_{c}}\right).
Defino C=\gamma_{0}^{9/11}. Então
\gamma^{9/11}=C - \frac{C}{T_{c}}\,T.
Isto é uma equação linear em T:
\gamma^{9/11}=A + B\,T,
com
A=C,\qquad B=-\frac{C}{T_{c}}.
Logo, ajustando uma reta y=A+B x aos pontos x=T e y=\gamma^{9/11} obtemos A e B, depois
T_{c}=-\frac{A}{B},\qquad \gamma_{0}=A^{11/9}.

Passo 3

Preparar os dados numéricos. Primeiro converto as temperaturas para kelvin:
T(\text{K})=\theta(^{\circ}\text{C})+273{,}15.
Valores:
T_1=213{,}15\\ \text{K}\quad(\theta=-60^\circ\text{C}),
T_2=223{,}15\\ \text{K}\quad(\theta=-50^\circ\text{C}),
T_3=233{,}15\\ \text{K}\quad(\theta=-40^\circ\text{C}),
T_4=243{,}15\\ \text{K}\quad(\theta=-30^\circ\text{C}).
Agora calculo y_i=\gamma_i^{9/11} para cada valor de \gamma. A razão de usar 9/11 foi explicada no passo anterior.
Cálculos (mostrados com a ideia das etapas; números arredondados a 3 casas decimais onde conveniente):
  • Para \gamma_1=31{,}2:
    y_1=\gamma_1^{9/11}=31{,}2^{9/11}\approx 16{,}713.
  • Para \gamma_2=29{,}2:
    y_2=29{,}2^{9/11}\approx 15{,}820.
  • Para \gamma_3=27{,}3:
    y_3=27{,}3^{9/11}\approx 14{,}960.
  • Para \gamma_4=25{,}4:
    y_4=25{,}4^{9/11}\approx 14{,}100.
(Explicação didática curta: para calcular a^{9/11} é conveniente usar \ln(a^{9/11})=(9/11)\ln a e então exp(.) — isto é o que foi feito nos cálculos acima.)

Passo 4

Aplicar ajuste linear por mínimos quadrados à forma
y=A+B x,
com x=T e y=\gamma^{9/11}.
Cálculo das somas necessárias (com n=4):
\sum x = T_1+T_2+T_3+T_4 = 912{,}60\\ \text{K},
\sum y = y_1+y_2+y_3+y_4 = 61{,}593,
\sum x^2 = \sum T_i^2 \approx 208709{,}690,
\sum x y = \sum T_i y_i \approx 14008{,}948.
Fórmulas dos coeficientes:
B=\frac{n\sum(xy)-\sum x\sum y}{n\sum x^2-(\sum x)^2}, \qquad A=\frac{\sum y - B\sum x}{n}.
Substituindo os números (mostro o passo numérico):
B=\frac{4\cdot14008{,}948 - 912{,}60\cdot61{,}593}{4\cdot208709{,}690 - (912{,}60)^2} =\frac{56035{,}792 - 56209{,}772}{834838{,}760 - 832838{,}760} =\frac{-173{,}980}{2000{,}000} \approx -0{,}08699.
A=\frac{61{,}593 - (-0{,}08699)\cdot912{,}60}{4} =\frac{61{,}593 +79{,}363}{4} \approx 35{,}239.
Portanto a reta ajustada é aproximadamente
\gamma^{9/11}\approx 35{,}239 - 0{,}08699\,T.

Passo 5

Agora recupero as grandezas pedidas usando as relações entre A,B e C,\gamma_0,T_c.
Lembrete das relações:
A=C=\gamma_{0}^{9/11},\qquad B=-\frac{C}{T_{c}}.
Logo
T_{c}=-\frac{A}{B}=\frac{35{,}239}{0{,}08699}\approx 405{,}0\\ \text{K}.
E
\gamma_{0}=A^{11/9}=35{,}239^{11/9}.
Calculo:
\gamma_{0}\approx 77{,}6\\ \text{dyne}\cdot\text{cm}^{-1}.
(Explicação didática: para elevar A à potência 11/9 usei \ln \ln\gamma_0=(11/9)\ln A — e então exponenciei.)

Passo 6

Interpretação e comparação com o valor experimental de T_c.
  • Resultado calculado: T_{c}\approx 405{,}0\\ \text{K}.
  • Valor experimental fornecido: 546{,}2\\ \text{K}.
Diferença absoluta:
546{,}2 - 405{,}0 = 141{,}2\\ \text{K}.
Diferença relativa (percentual):
\frac{141{,}2}{546{,}2}\approx 0{,}259 \approx 25{,}9\%.
Comentário curto e empático: o ajuste linearizado aos quatro pontos extremos fornecidos dá uma estimativa de T_c bastante menor que o valor experimental. Isso pode ocorrer porque a lei empírica \gamma=\gamma_0(1-T/T_c)^{11/9} funciona razoavelmente bem em uma faixa moderada de temperaturas, mas extrapolar para estimar T_c (uma extrapolação bem além da faixa fornecida) tende a amplificar erros; além disso, ruído experimental nos dados ou pequenas variações na forma funcional podem resultar nessa diferença. Mesmo assim a técnica de linearizar por 9/11 e ajustar uma reta é o procedimento padrão e didático para estimar \gamma_0 e T_c a partir de dados experimentais.

Resposta

\gamma_{0}\approx 77{,}6\\ \text{dyne}\cdot\text{cm}^{-1}
T_{c}\approx 405{,}0\\ \text{K} (diferença em relação a 546{,}2\\ \text{K}: 141{,}2\\ \text{K}, aproximadamente 25{,}9\% menor)

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