The surface tensions of pure liquids fit quite well the empirical equation
where
is the reduced temperature and
is a constant. For liquid
we have
-60
-50
-40
-30
dyne
31.2
29.2
27.3
25.4
Calculate
and
, and compare
with the experimental value 546.2 K .
|
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-60 | -50 | -40 | -30 |
|
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31.2 | 29.2 | 27.3 | 25.4 |
Passo 1
O enunciado dá a lei empírica
e uma tabela de valores para o líquido
:
- Temperaturas em graus Celsius:
. - Tensão superficial em
: .
O que o problema pede:
- Calcular
. - Calcular
(a temperatura crítica) e comparar com o valor experimental .
Observações úteis extraídas do enunciado (vou usar essas informações nos passos seguintes):
- A variável reduzida
é a temperatura absoluta reduzida; aqui usamos a definição usual , com em kelvin e a temperatura crítica em kelvin. - Portanto a lei pode ser escrita como
Passo 2
Estratégia de resolução (motivo da escolha do método): a expressão tem uma potência
. Podemos linearizar aplicando a potência recíproca
para obter uma relação linear em
, o que facilita encontrar
e
por ajuste linear simples (mínimos quadrados) usando os quatro pontos fornecidos. Esta transformação é algebraica e evita resolver diretamente uma equação não-linear.
Faço a transformação algebraica:
elevar ambos os lados à potência
:
Defino
. Então
Isto é uma equação linear em
:
com
Logo, ajustando uma reta
aos pontos
e
obtemos
e
, depois
Passo 3
Preparar os dados numéricos. Primeiro converto as temperaturas para kelvin:
Valores:
Agora calculo
para cada valor de
. A razão de usar
foi explicada no passo anterior.
Cálculos (mostrados com a ideia das etapas; números arredondados a 3 casas decimais onde conveniente):
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
(Explicação didática curta: para calcular
é conveniente usar
e então exp(.) — isto é o que foi feito nos cálculos acima.)
Passo 4
Aplicar ajuste linear por mínimos quadrados à forma
com
e
.
Cálculo das somas necessárias (com
):
Fórmulas dos coeficientes:
Substituindo os números (mostro o passo numérico):
Portanto a reta ajustada é aproximadamente
Passo 5
Agora recupero as grandezas pedidas usando as relações entre
e
.
Lembrete das relações:
Logo
E
Calculo:
(Explicação didática: para elevar
à potência
usei
—
— e então exponenciei.)
Passo 6
Interpretação e comparação com o valor experimental de
.
- Resultado calculado:
. - Valor experimental fornecido:
.
Diferença absoluta:
Diferença relativa (percentual):
Comentário curto e empático: o ajuste linearizado aos quatro pontos extremos fornecidos dá uma estimativa de
bastante menor que o valor experimental. Isso pode ocorrer porque a lei empírica
funciona razoavelmente bem em uma faixa moderada de temperaturas, mas extrapolar para estimar
(uma extrapolação bem além da faixa fornecida) tende a amplificar erros; além disso, ruído experimental nos dados ou pequenas variações na forma funcional podem resultar nessa diferença. Mesmo assim a técnica de linearizar por
e ajustar uma reta é o procedimento padrão e didático para estimar
e
a partir de dados experimentais.