Calcule
integral d x4 raizx-5+x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx4raizx-5+x
O conteúdo usado será a substituição que simplifica a raiz quadrada, transformando a integral numa em termos de t, e depois decomposição de fração para integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx-5,
logo
x = t^2 + 5, dx = 2t,dt
No denominador surge
4raizx-5 + x = 4t + (t^2+5) = t^2 + 4t +5 = (t+2)^2 + 1
Assim a integral vira
integral dx4raizx-5+x = integral 2t,dt(t+2)^2 +1

Passo 3

Para integrar
integral 2t,dt(t+2)^2+1,
escrevemos 2t = 2(t+2) - 4. Então
integral 2t,dt(t+2)^2+1 = 2integral (t+2),dt(t+2)^2+1 -4integral dt(t+2)^2+1

Passo 4

Cada parte é padrão:
2integral (t+2),dt(t+2)^2+1 = 2cdot12 lnl((t+2)^2+1r) = lnl((t+2)^2+1r),
4integral dt(t+2)^2+1 = 4arctan(t+2)
Logo
integral 2t,dt(t+2)^2+1 = lnl((t+2)^2+1r) - 4arctan(t+2) + C

Passo 5

Voltando a x, temos t=raizx-5 e
(t+2)^2+1 = (raizx-5+2)^2+1 = x-5 +4raizx-5+4 +1 = x + 4raizx-5
Portanto
integral dx4raizx-5+x = lnl(x + 4raizx-5r) - 4arctanl(raizx-5+2r) + C

Resposta

boxedintegral dx4raizx-5+x = lnl(x + 4raizx-5r) - 4arctanl(raizx-5+2r) + C

Exercícios relacionados