Calcule
integral0^pi4 sec ^4 x cdot tg^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
integral0^pi4 sec^4x;tan^5x;dx
O conteúdo aqui é usar identidades trigonométricas para reescrever o integrando e depois aplicar a substituição u=sec^2x.

Passo 2

Reescrevemos tan^5x como
tan^5x = tan^4xcdottan x = (tan^2x)^2tan x = (sec^2x - 1)^2tan x
Assim o integrando fica
sec^4x;tan^5x = sec^4x;(sec^2x - 1)^2,tan x

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sec^2x, du = 2,sec^2x,tan x,dx
Observamos que
sec^4x,tan x,dx = sec^2x;l(sec^2x,tan x,dxr),
e como sec^2x=u e sec^2x,tan x,dx = tfracdu2, o integrando torna-se
sec^4x;(sec^2x - 1)^2,tan x,dx = u,(u-1)^2,du2 = 12,u,(u-1)^2,du
Os limites mudam para u(0)=1 e u(pi/4)=2.

Passo 4

Agora calculamos
12 integral1^2 u,(u-1)^2,du = 12 integral1^2 (u^3-2u^2+u),du = 12 l[u^44-2u^33+u^22r]1^2

Passo 5

Avaliando nos pontos:
2^44-2cdot2^33+2^22 =4 - 163 +2 = 23,
1^44-2cdot1^33+1^22 = 14-23+12 = 112,
diferença = tfrac23-tfrac112=tfrac712. Multiplicando por tfrac12 tfrac724.

Resposta

724

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