Calcule integral|z|=1 e^zsen z d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de contorno
integral|z|=1e^zsin z,dz
no plano complexo.
O conteúdo envolvido é o Teorema dos Resíduos: precisamos identificar os polos de e^zsin z dentro do círculo |z|=1, calcular o resíduo correspondente e, por fim, aplicar a fórmula
integral|z|=1f(z),dz = 2pi isum Res(f;polos internos)

Passo 2

Detectamos as singularidades de e^zsin z a partir das raízes de sin z=0. Sabemos que
sin z=0Long<=ftrightarrow z=kpi, kinZ
No círculo |z|=1 só cabe z=0, pois pi>1. Logo o único polo interno é z=0.

Passo 3

Em z=0, sin z tem zero simples, pois sin z = z - z^36+cdots. Assim e^zsin z tem um polo simples em 0 (produto de uma função analítica e^z por 1/sin z).

Passo 4

Vamos calcular o resíduo em z=0 usando
Resgl(e^zsin z;0gr) =limzto0ze^zsin z =limzto0e^zzsin z
Como limzto0zsin z=1 e e^0=1, obtemos
Resgl(e^zsin z;0gr)=1

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos,
integral|z|=1e^zsin z,dz = 2pi i timesl(soma dos resíduos dentro de |z|=1r) =2pi icdot 1 í

Resposta

integral|z|=1e^zsin z,dz = 2pi i

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