Calcule a integral
ointC e^z(z-i)(z^2+4) d z
tomando para C, sucessivamente, os seguintes círculos, todos orientados positivamente:
de raio 3 , centrado em z=-3 i;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de contorno
onde é o círculo de raio centrado em , orientado positivamente. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que afirma que, se é meromorfa em e no interior de , então
sendo os polos de dentro de .

Passo 2

Identificamos os polos de
f(z)=e^z(z - i)(z^2+4)
resolvendo (z - i)(z^2+4)=0. Assim, as singularidades são
z = i, z^2 + 4 = 0;Rightarrow;z = 2i ou z = -2i
Para saber quais estão dentro de C, calculamos a distância ao centro -3i:
lvert i+3irvert = lvert4irvert = 4>3,
lvert2i+3irvert = lvert5irvert = 5>3,
lvert-2i+3irvert = lvert irvert = 1<3.
Logo, apenas z=-2i fica dentro de C.

Passo 3

Como o polo em é simples, sua resíduo é
Calculamos o denominador: e , portanto

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,

Resposta

-pi i,e^-2i6

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