Calcule a integral
tomando para
, sucessivamente, os seguintes círculos, todos orientados positivamente:
de raio 2 , centrado no ponto
.
de raio 2 , centrado no ponto
Passo 1
O enunciado nos pede o valor da integral de contorno
onde
é o círculo de raio
centrado em
, orientado positivamente.
Para resolver, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que
Para resolver, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que
Passo 2
Identificamos os polos da função integranda:
— Um polo simples em , vindo do fator
.
— Dois polos simples em , ou seja, em
e
.
— Um polo simples em
— Dois polos simples em
Passo 3
Precisamos saber quais desses polos estão dentro do círculo de centro
e raio
. Calculamos as distâncias até o centro
:
— Para :
, logo
está dentro.
— Para :
, fica fora.
— Para :
, também fora.
Assim, o único polo dentro de é
.
— Para
— Para
— Para
Assim, o único polo dentro de
Passo 4
Calculamos a resíduo em
. Como é polo simples,
Mas
, logo
. Portanto
Passo 5
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale