Calcule a integral
ointC e^z(z-i)(z^2+4) d z
tomando para C, sucessivamente, os seguintes círculos, todos orientados positivamente:
de raio 2 , centrado no ponto z=1.

Passo 1

O enunciado nos pede o valor da integral de contorno
onde é o círculo de raio centrado em , orientado positivamente.
Para resolver, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que

Passo 2

Identificamos os polos da função integranda:
— Um polo simples em z=i, vindo do fator (z - i).
— Dois polos simples em z^2 + 4 = 0, ou seja, em z=2i e z=-2i.

Passo 3

Precisamos saber quais desses polos estão dentro do círculo de centro 1+0i e raio 2. Calculamos as distâncias até o centro 1:
— Para z=i: |i - 1| = |(-1 + i)| = raiz1+1 = raiz2 < 2, logo i está dentro.
— Para z=2i: |2i - 1| = raiz1+4 = raiz5 > 2, fica fora.
— Para z=-2i: |-2i - 1| = raiz1+4 = raiz5 > 2, também fora.
Assim, o único polo dentro de C é z=i.

Passo 4

Calculamos a resíduo em . Como é polo simples,
Mas , logo . Portanto

Passo 5

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale

Resposta

2pi i,e^i3

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