Calcule (1+i)^{25}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular (1+i)^{25}.\n
Informações dadas que vamos usar: o número complexo base é 1+i (parte real igual a 1, parte imaginária igual a 1) e o expoente é 25. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Transformar 1+i em forma polar (ou exponencial) — por que isso ajuda: elevar um número complexo à potência inteira fica muito mais simples na forma r(\cos\theta+i\sin\theta) ou r e^{i\theta} usando o Teorema de De Moivre. Vou explicar passo a passo como achar o raio r (módulo) e o ângulo \theta (argumento).
Definições rápidas:
r=\sqrt{\text{(parte real)}^2+\text{(parte imaginária)}^2}á
\theta=\operatorname{atan2}(\text{parte imaginária},\text{parte real})á
Para 1+i temos:
r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
A tangente do ângulo é 1/1=1, logo o ângulo principal é
\theta=\frac{\pi}{4}.
Portanto podemos escrever
1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.

Passo 3

Aplicar o Teorema de De Moivre (explicando): para qualquer r>0, qualquer \theta e inteiro n,
\bigl(r e^{i\theta}\bigr)^n = r^n e^{in\theta}.
Aqui r=\sqrt{2}, \theta=\pi/4 e n=25. Logo
(1+i)^{25}=\bigl(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\bigr)^{25}=(\sqrt{2})^{25}\,e^{i\cdot 25\pi/4}.

Passo 4

Calcular separadamente as duas partes: a parte real-escala (\sqrt{2})^{25} e a parte angular e^{i25\pi/4}.
Primeiro a escala:
(\sqrt{2})^{25}=(2^{1/2})^{25}=2^{25/2}.
Agora o ângulo:
\frac{25\pi}{4}=6\pi+\frac{\pi}{4},
porque 25/4=6{,}25. Como e^{i2\pi k}=1 para inteiro k, temos e^{i6\pi}=(e^{i2\pi})^{3}=1. Portanto
e^{i25\pi/4}=e^{i(6\pi+\pi/4)}=e^{i6\pi}e^{i\pi/4}=1\cdot e^{i\pi/4}=e^{i\pi/4}.

Passo 5

Juntando:
(1+i)^{25}=2^{25/2}\,e^{i\pi/4}=2^{25/2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).
Sabemos que \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Então
(1+i)^{25}=2^{25/2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =2^{25/2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\,(1+i).
Agora simplifico a potência de 2: \sqrt{2}=2^{1/2}, então
2^{25/2}\cdot 2^{1/2}=2^{(25+1)/2}=2^{13}.
Dividindo por 2 (o denominador que ficou) dá
2^{13}\cdot\frac{1}{2}=2^{12}.
Portanto
(1+i)^{25}=2^{12}(1+i).

Passo 6

Se quiser o resultado expandido, basta multiplicar 2^{12}=4096 por (1+i):
(1+i)^{25}=4096(1+i)=4096+4096\,i.

Resposta

4096(1+i)

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