Calcule
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.\n
Informações dadas que vamos usar: o número complexo base é (parte real igual a
, parte imaginária igual a
) e o expoente é
. Nada mais é fornecido.
Informações dadas que vamos usar: o número complexo base é
Passo 2
Transformar
em forma polar (ou exponencial) — por que isso ajuda: elevar um número complexo à potência inteira fica muito mais simples na forma
ou
usando o Teorema de De Moivre. Vou explicar passo a passo como achar o raio
(módulo) e o ângulo
(argumento).
Definições rápidas:
Para
temos:
A tangente do ângulo é
, logo o ângulo principal é
Portanto podemos escrever
Passo 3
Aplicar o Teorema de De Moivre (explicando): para qualquer
, qualquer
e inteiro
,
Aqui
,
e
. Logo
Passo 4
Calcular separadamente as duas partes: a parte real-escala
e a parte angular
.
Primeiro a escala:
Agora o ângulo:
porque
. Como
para inteiro
, temos
. Portanto
Passo 5
Juntando:
Sabemos que
. Então
Agora simplifico a potência de
:
, então
Dividindo por
(o denominador que ficou) dá
Portanto
Passo 6
Se quiser o resultado expandido, basta multiplicar
por
: