\operatorname{Se} z=\left(\cos \frac{\pi}{16}+i \cdot \operatorname{sen} \frac{\pi}{16}\right), calcule z^{12}.

Passo 1

O enunciado fornece o número complexo \displaystyle z=\left(\cos\frac{\pi}{16}+i\cdot\sin\frac{\pi}{16}\right) e pede para calcular \displaystyle z^{12}.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever um número complexo na forma \displaystyle \cos\theta + i\sin\theta. Essa é a forma trigonométrica (ou forma “cis”) de um número complexo de módulo 1 e argumento \theta. Em geral, um número complexo pode ser escrito como
r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde:
  • r é o módulo (distância até a origem);
  • \theta é o argumento (o ângulo medido a partir do eixo real positivo);
  • \cos\theta e \sin\theta são as coordenadas no círculo unitário.
No nosso caso vemos que r=1 e \theta=\frac{\pi}{16}, porque \displaystyle z=\cos\frac{\pi}{16}+i\sin\frac{\pi}{16}=1\cdot(\cos\frac{\pi}{16}+i\sin\frac{\pi}{16}).

Passo 3

A ferramenta principal aqui é o Teorema de De Moivre. Ele diz que, para r\ge 0 e qualquer \theta,
\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Expliquei o que cada símbolo significa: r é o módulo, \theta o argumento, e n um inteiro positivo (a potência). No nosso caso r=1, então r^{12}=1. Aplicando De Moivre com n=12 e \theta=\frac{\pi}{16} obtemos
z^{12} = \cos\!\left(12\cdot\frac{\pi}{16}\right) + i\sin\!\left(12\cdot\frac{\pi}{16}\right).

Passo 4

Vamos simplificar o ângulo:
12\cdot\frac{\pi}{16}=\frac{12\pi}{16}=\frac{3\pi}{4}.
Logo
z^{12}=\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Agora avaliamos \cos\frac{3\pi}{4} e \sin\frac{3\pi}{4}. O ângulo \displaystyle \frac{3\pi}{4} é 135^\circ, que está no segundo quadrante do círculo unitário; as coordenadas conhecidas são
\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo:
z^{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Podemos também fatorar \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} para ficar mais compacto:
z^{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(-1 + i).

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}(-1 + i)

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