, calcule
.
Passo 1
O enunciado fornece o número complexo
e pede para calcular
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever um número complexo na forma
. Essa é a forma trigonométrica (ou forma “cis”) de um número complexo de módulo
e argumento
. Em geral, um número complexo pode ser escrito como
onde:
-
é o módulo (distância até a origem); -
é o argumento (o ângulo medido a partir do eixo real positivo); -
e são as coordenadas no círculo unitário.
No nosso caso vemos que
e
, porque
.
Passo 3
A ferramenta principal aqui é o Teorema de De Moivre. Ele diz que, para
e qualquer
,
Expliquei o que cada símbolo significa:
é o módulo,
o argumento, e
um inteiro positivo (a potência). No nosso caso
, então
. Aplicando De Moivre com
e
obtemos
Passo 4
Vamos simplificar o ângulo:
Logo
Passo 5
Agora avaliamos
e
. O ângulo
é
, que está no segundo quadrante do círculo unitário; as coordenadas conhecidas são
Substituindo:
Passo 6
Podemos também fatorar
para ficar mais compacto: