O número complexo \sqrt{2}+\sqrt{2} i, na forma trigonométrica, é:

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo \sqrt{2}+\sqrt{2}i na forma trigonométrica.
Informações dadas: o número complexo é \sqrt{2}+\sqrt{2}i. Não há outras condições.

Passo 2

O que é a forma trigonométrica de um complexo?
Para um complexo genérico \,z=x+yi\, (com x,y reais), a forma trigonométrica é
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr),
onde:
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
é o módulo (distância até a origem) e \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo).
Para encontrar \theta usamos \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), lembrando de ajustar o ângulo conforme o quadrante em que (x,y) está (uso do chamado \operatorname{atan2}(y,x)). Vou aplicar essas fórmulas ao nosso número.

Passo 3

Identifico x=\sqrt{2} e y=\sqrt{2}. Calculo o módulo r:
r=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.
Então o módulo é \,2.

Passo 4

Agora o argumento \theta. Como x=\sqrt{2}>0 e y=\sqrt{2}>0, o ponto está no primeiro quadrante. Assim
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)=\arctan(1).
Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}. Logo \theta=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Escrevo o número na forma trigonométrica usando os valores encontrados:
\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right).
Posso checar rapidamente: \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
que recupera as componentes real e imaginária originais. Tudo confere.

Resposta

2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)

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