Calcule f+g, f-g, f g, fg, gf.
f(x)=1x+1 ; g(x)=xx-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma, a diferença, o produto e as divisões de duas funções racionais: f(x)=\frac{1}{x+1} e g(x)=\frac{x}{x-2}. O conteúdo é operações com funções racionais, lembrando que o domínio comum exclui valores que anulem denominadores (x≠-1, x≠2 e, no caso de divisão, x≠0).

Passo 2

Para calcular f+g precisamos colocar as duas frações sobre o mesmo denominador. O denominador comum é (x+1)(x-2). Então:
f(x)+g(x)=1x+1+xx-2=x-2(x+1)(x-2)+x(x+1)(x+1)(x-2)=x^2+2x-2(x+1)(x-2)

Passo 3

Para calcular f-g usamos o mesmo denominador comum (x+1)(x-2). Assim:
f(x)-g(x)=1x+1-xx-2=x-2(x+1)(x-2)-x(x+1)(x+1)(x-2)=-x^2-2(x+1)(x-2)=-x^2+2(x+1)(x-2)

Passo 4

Para o produto f·g basta multiplicar numeradores e denominadores:
f(x)cdot g(x)=1x+1cdotxx-2=x(x+1)(x-2)

Passo 5

Para a divisão f/g invertemos g e multiplicamos:
f(x)g(x)=1x+1g/xx-2=1x+1cdotx-2x=x-2x(x+1)

Passo 6

Para a divisão g/f invertemos f e multiplicamos:
g(x)f(x)=xx-2g/1x+1=xx-2cdot(x+1)=x(x+1)x-2

Resposta

f+g=\frac{x^2+2x-2}{(x+1)(x-2)},
f-g=-\frac{x^2+2}{(x+1)(x-2)},
fg=\frac{x}{(x+1)(x-2)},
\frac{f}{g}=\frac{x-2}{x(x+1)},
\frac{g}{f}=\frac{x(x+1)}{x-2}

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