Calcule:
(20.) \int_{1}^{1} \frac{1+x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{1}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx.
Aqui o conteúdo é cálculo de integrais definidas, usando manipulação de potências e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar simplificar o integrando e encontrar sua primitiva.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências de x:
\frac{1+x}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac12} + x^{\tfrac12}.

Passo 3

Calculamos a primitiva F(x):
\int x^{-\tfrac12}dx = 2\,x^{\tfrac12}, \qquad \int x^{\tfrac12}dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.
Logo,
F(x) = 2\,x^{\tfrac12} + \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
\int_{1}^{1}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx = F(1) - F(1) = 0.

Resposta

0

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