Calcule:
\int_{-2}^{1}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-2}^{1}(x^{2}-1)\,dx
Trata-se de uma integral definida de um polinômio. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: encontramos uma antiderivada de x^{2}-1 e avaliamos nos limites.

Passo 2

Para integrar x^{2}-1, lembramos que
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\quad \int 1\,dx=x.
Logo, uma antiderivada é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{1}(x^{2}-1)\,dx=F(1)-F(-2).
Calculemos cada valor:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3},
F(-2)=\frac{(-2)^{3}}{3}-(-2)=-\frac{8}{3}+2=-\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}.
Portanto,
F(1)-F(-2)=-\frac{2}{3}-\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr)=0.

Resposta

0

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