Calcule
(2+\sqrt{2} i)(1-i);

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o produto dos complexos (2+\sqrt{2}\,i)(1-i).\n
Informações dadas:
\text{primeiro fator} = 2+\sqrt{2}\,i,
\text{segundo fator} = 1-i.
A pergunta é: qual é o número complexo resultado desse produto, expresso na forma a+bi?

Passo 2

Primeiro lembrete importante (vou explicar como funciona porque é crucial): o número i é a unidade imaginária, isto é, uma quantidade que satisfaz
i^2 = -1.
Sempre que aparecer i^2 numa conta, eu substituo por -1. Isso transforma termos com i^2 em termos reais. Guarde essa propriedade — ela é a chave para multiplicar complexos.

Passo 3

Agora vou multiplicar os dois parênteses usando a propriedade distributiva (método “FOIL”: primeiro, externo, interno, último). Vou multiplicar termo a termo e escrever cada produto:
(2+\sqrt{2}\,i)(1-i) = 2\cdot 1 \;+\; 2\cdot(-i) \;+\; \sqrt{2}\,i\cdot 1 \;+\; \sqrt{2}\,i\cdot(-i).

Passo 4

Calculo cada termo separadamente:
2\cdot 1 = 2,
2\cdot(-i) = -2i,
\sqrt{2}\,i\cdot 1 = \sqrt{2}\,i,
\sqrt{2}\,i\cdot(-i) = -\sqrt{2}\,i^2.

Passo 5

Aplico agora a relação i^2=-1 no último termo:
-\sqrt{2}\,i^2 = -\sqrt{2}\,(-1) = +\sqrt{2}.
Substituindo tudo de volta, o produto fica
(2+\sqrt{2}\,i)(1-i) = 2 -2i + \sqrt{2}\,i + \sqrt{2}.

Passo 6

Agora junto as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si. Partes reais:
2 + \sqrt{2}.
Partes imaginárias:
-2i + \sqrt{2}\,i = (\sqrt{2}-2)\,i.
Portanto o resultado na forma padrão a+bi é
(2+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-2)\,i.

Resposta

(2+\sqrt{2})+(\sqrt{2}-2)\,i

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