Demonstre as seguintes propriedades de números complexos.
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}
para números complexos z e w. As informações relevantes são:
  • z e w são números complexos quaisquer;
  • implicitamente é necessário que w\neq 0 (pois há divisão por w).

Passo 2

Relembremos definições básicas (passo-a-passo, sem pressa):
  • Se z=a+bi com a,b\in\mathbb{R}, o conjugado de z é \overline{z}=a-bi.
  • O módulo de z é |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
    Agora uma propriedade útil que vamos usar e provar rapidinho:
z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}.
Portanto sempre vale
|z|^{2}=z\overline{z}.

Passo 3

Precisamos também da propriedade da conjugação em relação a quocientes e produtos. Primeiro observe que para w\neq 0 temos w^{-1} bem definido e
\overline{w^{-1}}=\overline{w}^{\, -1},
porque conjugação preserva produto e inverso. Assim, escrevendo \dfrac{z}{w}=z\cdot w^{-1}, obtemos
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\overline{z\cdot w^{-1}}=\overline{z}\cdot\overline{w^{-1}}=\overline{z}\cdot\overline{w}^{\, -1}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}}.

Passo 4

Agora calculemos o quadrado do módulo do quociente, porque isso facilita o uso da identidade |u|^{2}=u\overline{u}:
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\frac{z}{w}\,\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}.
Usando a propriedade do passo anterior substituímos a conjugada:
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\frac{z}{w}\cdot\frac{\overline{z}}{\overline{w}}=\frac{z\overline{z}}{w\overline{w}}.
Pela identidade z\overline{z}=|z|^{2} e w\overline{w}=|w|^{2} isso vira
\left|\frac{z}{w}\right|^{2}=\frac{|z|^{2}}{|w|^{2}}.

Passo 5

Finalmente tiramos a raiz quadrada em ambos os lados. Como módulos são sempre não negativos, tomar a raiz principal é seguro e preserva a igualdade; além disso w\neq 0 garante |w|>0 para não dividir por zero. Assim
\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}.
Pronto — demonstração concluída. Se quiser, dá para verificar com um exemplo numérico simples para fixar a intuição (por exemplo z=3+4i, w=1+i; aí |z|=5, |w|=\sqrt{2} e dá certo).

Resposta

\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}, para w\neq 0.

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