Calcule o ângulo interno do polígono regular que tem 90 diagonais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo interno de um polígono regular que possui 90 diagonais. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona o número de lados n de um polígono ao seu número de diagonais D:
D = \frac{n(n-3)}{2}.

Passo 2

Igualando D = 90 e resolvendo para n:
n(n-3) = 180
n^2 - 3n - 180 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729,
logo \sqrt{\Delta} = 27. Assim,
n = \frac{3 \pm 27}{2}.
Descartamos a solução negativa e ficamos com
n = \frac{3 + 27}{2} = 15.

Passo 3

Agora, para um polígono regular de n lados, o ângulo interno \alpha é dado por
\alpha = \frac{(n-2)\,180^\circ}{n}.
Substituindo n = 15:
\alpha = \frac{13 \cdot 180^\circ}{15} = \frac{2340^\circ}{15} = 156^\circ.

Resposta

156^\circ

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