Um dos ângulos internos de um polígono regular mede 160^{\circ}. Determine o número de lados e o número de diagonais do polígono.

Passo 1

O enunciado diz que temos um polígono regular em que cada ângulo interno mede 160^\circ. O conteúdo aqui é geometria de polígonos regulares. Para resolver, precisaremos da fórmula do ângulo interno de um polígono regular de n lados e da fórmula do número de diagonais em função de n.

Passo 2

A fórmula para cada ângulo interno de um polígono regular de n lados é
\frac{(n - 2)\,180^\circ}{n}.
Como aqui esse valor é 160^\circ, montamos a equação
\frac{(n - 2)\,180}{n} = 160.
Multiplicando ambos os lados por n e resolvendo:
(n - 2)\,180 = 160\,n
180\,n - 360 = 160\,n
20\,n = 360
n = 18.

Passo 3

O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por
\frac{n(n - 3)}{2}.
Para n = 18, temos
\frac{18\,(18 - 3)}{2} = \frac{18 \cdot 15}{2} = 9 \cdot 15 = 135.

Resposta

Número de lados: 18
Número de diagonais: 135

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