Dado um círculo de raio R , calcule a razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito ao círculo. (Dica: faça um desenho que ilustre a situação.)

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o lado do quadrado inscrito em um círculo de raio R e o lado do quadrado que circunscreve esse mesmo círculo. Aqui o conteúdo é geometria plana, mais especificamente a relação entre diâmetro de círculo e lado/diagonal de quadrado.

Passo 2

Para o quadrado inscrito, seus quatro vértices tocam o círculo. Isso significa que a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, ou seja,
\text{diagonal do quadrado inscrito} = 2R.
Como a relação entre diagonal d e lado s de um quadrado é d = s\sqrt{2}, temos
s_{\text{inscrito}} = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,R.

Passo 3

Para o quadrado circunscrito, cada lado do quadrado toca o círculo em exatamente um ponto (o ponto médio do lado). Nesse caso, o diâmetro do círculo cabe exatamente na largura do quadrado, ou seja,
s_{\text{circunscrito}} = 2R.

Passo 4

Agora calculamos a razão desejada:
\frac{s_{\text{inscrito}}}{s_{\text{circunscrito}}} = \frac{\sqrt{2}\,R}{2R}.

Passo 5

Simplificando a expressão:
\frac{\sqrt{2}\,R}{2R} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

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