Calcule o ângulo entre as retas
r_{1}\left\{\begin{array}{l} x-y+z=0 \\ 2 x-2 y+3 z=0 \end{array} \quad \text { e } \quad r_{2}: x-1=y-1=\sqrt{2} z .\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ângulo entre duas retas r_{1} e r_{2}. Informações dadas:
  • A reta r_{1} é definida como interseção de dois planos com equações \;x-y+z=0\; e \;2x-2y+3z=0\;.
  • A reta r_{2} é dada na forma simétrica \;x-1=y-1=\sqrt{2}\,z\;.
O que precisamos encontrar: o ângulo \theta entre essas duas retas (valor agudo, ou seja 0\le\theta\le\pi/2).

Passo 2

Identificar um vetor diretor de r_{1}.
Quando uma reta em \mathbb{R}^3 é dada como interseção de dois planos, um vetor normal a cada plano é obtido diretamente dos coeficientes das equações dos planos. Esses vetores normais são:
n_1 = (1,-1,1) \quad\text{(de }x-y+z=0\text{)}
n_2 = (2,-2,3) \quad\text{(de }2x-2y+3z=0\text{)}.
O vetor diretor da reta de interseção é perpendicular a ambos n_1 e n_2; portanto é dado pelo produto vetorial n_1\times n_2.
Explicação rápida do produto vetorial: para vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial a\times b é um vetor perpendicular a ambos e calculado pelo determinante da matriz com as componentes canônicas:
a\times b = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.
Vamos aplicar isso a n_1 e n_2.

Passo 3

Calcular o produto vetorial n_1\times n_2:
n_1\times n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 3 \end{vmatrix}.
Calculando coordenada a coordenada:
  • Componente em \mathbf{i}: (-1)\cdot 3 - 1\cdot(-2) = -3 + 2 = -1.
  • Componente em \mathbf{j}: 1\cdot 3 - 1\cdot 2 = 3 - 2 = 1, e como é -\mathbf{j} na fórmula fica -1.
  • Componente em \mathbf{k}: 1\cdot(-2) - (-1)\cdot 2 = -2 + 2 = 0.
Logo
n_1\times n_2 = (-1,-1,0).
Um vetor diretor pode ser qualquer múltiplo escalar, então podemos multiplicar por -1 para ficar mais simpático:
v_1 = (1,1,0)
é um vetor diretor de r_{1}.

Passo 4

Encontrar um vetor diretor de r_{2}.
A forma simétrica \;x-1=y-1=\sqrt{2}\,z\; significa que existe um parâmetro t tal que
x-1 = t,\quad y-1 = t,\quad \sqrt{2}\,z = t.
Assim,
x = 1+t,\quad y = 1+t,\quad z = \frac{t}{\sqrt{2}}.
Portanto um vetor diretor (as componentes correspondem às variações \Delta x,\Delta y,\Delta z quando t varia de 0 para 1) é
v_2 = \left(1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Para evitar frações podemos multiplicar por \sqrt{2} e usar o vetor equivalente
v_2' = (\sqrt{2},\sqrt{2},1),
que tem a mesma direção e é mais prático para contas.

Passo 5

Recordando a fórmula do ângulo entre duas retas: o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Para vetores u e v o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta = \frac{|u\cdot v|}{\|u\|\,\|v\|},
onde u\cdot v é o produto escalar e \|u\| é a norma (comprimento) de u. O valor absoluto garante que obtemos o ângulo agudo entre as retas.
Explicação do produto escalar: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a norma é \|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Vamos aplicar com v_1=(1,1,0) e v_2'=(\sqrt{2},\sqrt{2},1).

Passo 6

Calcular o produto escalar e as normas:
v_1\cdot v_2' = 1\cdot\sqrt{2} + 1\cdot\sqrt{2} + 0\cdot 1 = 2\sqrt{2}.
\|v_1\| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}.
\|v_2'\| = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2+1^2} = \sqrt{2+2+1} = \sqrt{5}.
Portanto
\cos\theta = \frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}\,\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 7

Obter o ângulo \theta. Podemos deixar a resposta na forma de arco cosseno ou transformar em uma forma alternativa. Temos
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}.
Note que então
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-\frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
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\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}}=\frac{1}{2}.
Assim podemos escrever \theta de formas equivalentes:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \arctan\!\left(\frac{1}{2}\right).
Em graus isso fica aproximadamente
\theta \approx 26{,}565^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx 26{,}565^\circ

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