r_{1}\left\{\begin{array}{l}
x-y+z=0 \\
2 x-2 y+3 z=0
\end{array} \quad \text { e } \quad r_{2}: x-1=y-1=\sqrt{2} z .\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o ângulo entre duas retas r_{1} e r_{2}. Informações dadas:
A reta r_{1} é definida como interseção de dois planos com equações \;x-y+z=0\; e \;2x-2y+3z=0\;.
A reta r_{2} é dada na forma simétrica \;x-1=y-1=\sqrt{2}\,z\;.
O que precisamos encontrar: o ângulo \theta entre essas duas retas (valor agudo, ou seja 0\le\theta\le\pi/2).
Passo 2
Identificar um vetor diretor de r_{1}.
Quando uma reta em \mathbb{R}^3 é dada como interseção de dois planos, um vetor normal a cada plano é obtido diretamente dos coeficientes das equações dos planos. Esses vetores normais são:
O vetor diretor da reta de interseção é perpendicular a ambos n_1 e n_2; portanto é dado pelo produto vetorial n_1\times n_2.
Explicação rápida do produto vetorial: para vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), o produto vetorial a\times b é um vetor perpendicular a ambos e calculado pelo determinante da matriz com as componentes canônicas:
Um vetor diretor pode ser qualquer múltiplo escalar, então podemos multiplicar por -1 para ficar mais simpático:
v_1 = (1,1,0)
é um vetor diretor de r_{1}.
Passo 4
Encontrar um vetor diretor de r_{2}.
A forma simétrica \;x-1=y-1=\sqrt{2}\,z\; significa que existe um parâmetro t tal que
x-1 = t,\quad y-1 = t,\quad \sqrt{2}\,z = t.
Assim,
x = 1+t,\quad y = 1+t,\quad z = \frac{t}{\sqrt{2}}.
Portanto um vetor diretor (as componentes correspondem às variações \Delta x,\Delta y,\Delta z quando t varia de 0 para 1) é
v_2 = \left(1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Para evitar frações podemos multiplicar por \sqrt{2} e usar o vetor equivalente
v_2' = (\sqrt{2},\sqrt{2},1),
que tem a mesma direção e é mais prático para contas.
Passo 5
Recordando a fórmula do ângulo entre duas retas: o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Para vetores u e v o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta = \frac{|u\cdot v|}{\|u\|\,\|v\|},
onde u\cdot v é o produto escalar e \|u\| é a norma (comprimento) de u. O valor absoluto garante que obtemos o ângulo agudo entre as retas.
Explicação do produto escalar: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a norma é \|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
Vamos aplicar com v_1=(1,1,0) e v_2'=(\sqrt{2},\sqrt{2},1).