f é continua em \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O que o enunciado pede: responde-se à pergunta “f é contínua em \mathbb{R}^{2} ?”.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão, fórmula, gráfico ou descrição de \,f foi dada. Logo, com os dados atuais não há definição de \,f disponível.

Passo 2

O que significa ser contínua em \mathbb{R}^{2} — definição precisa (é importante entender isso para a prova).
Uma função f é contínua em um ponto (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, temos |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon. Em notação:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\ \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon.
Dica prática: essa é a versão epsilon-delta em \mathbb{R}^2. Na prova, às vezes é mais fácil usar critérios equivalentes (próximo passo).

Passo 3

Critério sequencial / limite — forma prática para testar continuidade.
Equivalente à definição anterior: f é contínua em (x_0,y_0) se e somente se, para toda sequência (x_n,y_n) com (x_n,y_n)\to(x_0,y_0), temos f(x_n,y_n)\to f(x_0,y_0). Outra forma útil: f é contínua em (x_0,y_0) se \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) existe e é igual a f(x_0,y_0). Ou seja, provar existência do limite e igualdade com o valor da função no ponto.

Passo 4

Ferramentas rápidas que valem ouro na prova (se a função pertence a estas classes, já sabemos que é contínua):
  • Soma, produto, quociente (quando denominador não zera) e composição de funções contínuas são contínuas.
  • Polinômios em x,y são contínuos em todo \mathbb{R}^2. Ex.: (x,y)\mapsto x^2+3xy+y é contínua.
  • Funções elementares aplicadas a contínuas (expo, log em domínio, potências com expoente racional bem definidas, seno, cosseno) também são contínuas onde estão definidas.
    Portanto, se f for dada por uma expressão formada por essas operações sem divisão por zero onde você quer continuidade, então f é contínua lá.

Passo 5

Como testar continuidade de funções definidas por partes (onde costuma dar problema na prova).
Se f tem uma definição diferente em um subconjunto e em outro (por exemplo, uma regra para (x,y)\neq(0,0) e outra em (0,0)), o ponto crítico é a fronteira entre as peças (tipicamente a origem). A técnica padrão:
  1. Calcular \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) tentando várias trajetórias (linhas y=mx, parábolas y=kx^2, ou usando coordenadas polares).
  2. Se encontrar duas trajetórias que dão limites diferentes, o limite não existe e f é descontínua em (x_0,y_0).
  3. Se todas as trajetórias óbvias dão o mesmo valor, ainda não é prova completa — aí use coordenadas polares ou uma prova epsilon-delta para mostrar que a diferença |f(x,y)-L| é pequena quando r=\sqrt{x^2+y^2} é pequena.

Passo 6

Exemplo clássico de função descontínua na origem (mostra por que testar trajetórias é útil). Considere a função definida por
f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0),\quad f(0,0)=0.
Teste ao aproximar pela reta y=mx. Substituindo:
f(x,mx)=\frac{x\cdot(mx)}{x^2+(mx)^2}=\frac{m x^2}{x^2(1+m^2)}=\frac{m}{1+m^2}.
Quando (x,mx)\to(0,0) (ou seja, x\to0), o valor tende a \dfrac{m}{1+m^2}, que depende de m. Logo, diferentes retas y=mx dão limites diferentes — o limite em (0,0) não existe — e, portanto, f não é contínua em (0,0). Esse exemplo mostra a técnica: trocar trajetórias e observar dependência do parâmetro da trajetória.

Passo 7

Exemplo de função contínua em \mathbb{R}^2 e demonstração rápida (para contraste). Tome g(x,y)=x^2+y^2. Quero mostrar que é contínua em qualquer (x_0,y_0). Como polinômio em x,y, já sei que é contínua; mas segue um esboço epsilon-delta para treinar:
|g(x,y)-g(x_0,y_0)|=|x^2-x_0^2+y^2-y_0^2| \le |x-x_0||x+x_0| + |y-y_0||y+y_0|.
Escolho \delta\le 1 para garantir |x+x_0| e |y+y_0| controlados por números fixos próximos a 2\max(|x_0|,|y_0|)+1. A partir daí encontro \delta em função de \varepsilon. Moral: polinômios são tranquilos.

Passo 8

Resumo prático — checklist que eu usaria na prova quando me pedem “f é contínua em \mathbb{R}^2?”:
  • Se o enunciado dá a expressão analítica de f e ela é um polinômio ou combinação de funções contínuas sem divisão por zero no domínio, respondo “sim” explicando a composição.
  • Se f é definida por partes, foco nos pontos da fronteira entre peças (normalmente a origem); tento trajetórias simples y=mx, y=kx^2.
  • Se as trajetórias dão resultados iguais, tento coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e mostro que a expressão depende apenas de r e tende a um valor quando r\to0; ou faço um argumento epsilon-delta.
  • Se encontrar duas trajetórias com limites distintos, concluo “não é contínua” nesse ponto.

Passo 9

Aplicando tudo ao seu pedido específico: como não foi dada nenhuma definição de f, não há como aplicar as ferramentas anteriores a um caso concreto. Eu expliquei como testar continuidade e dei exemplos (um contínuo, outro não), mas sem a fórmula ou descrição de f não dá para afirmar se f é contínua em \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Não é possível determinar — o enunciado não fornece a definição de f.

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