f é continua em \mathbb{R}^{2} ?
Passo 1
O que o enunciado pede: responde-se à pergunta “f é contínua em
?”.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão, fórmula, gráfico ou descrição de foi dada. Logo, com os dados atuais não há definição de
disponível.
Informações fornecidas pelo enunciado: nenhuma expressão, fórmula, gráfico ou descrição de
Passo 2
O que significa ser contínua em
— definição precisa (é importante entender isso para a prova).
Uma função é contínua em um ponto
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Em notação:
Uma função
Dica prática: essa é a versão epsilon-delta em
. Na prova, às vezes é mais fácil usar critérios equivalentes (próximo passo).
Passo 3
Critério sequencial / limite — forma prática para testar continuidade.
Equivalente à definição anterior: é contínua em
se e somente se, para toda sequência
com
, temos
. Outra forma útil:
é contínua em
se
existe e é igual a
. Ou seja, provar existência do limite e igualdade com o valor da função no ponto.
Equivalente à definição anterior:
Passo 4
Ferramentas rápidas que valem ouro na prova (se a função pertence a estas classes, já sabemos que é contínua):
- Soma, produto, quociente (quando denominador não zera) e composição de funções contínuas são contínuas.
- Polinômios em
são contínuos em todo . Ex.: é contínua. - Funções elementares aplicadas a contínuas (expo, log em domínio, potências com expoente racional bem definidas, seno, cosseno) também são contínuas onde estão definidas.
Portanto, sefor dada por uma expressão formada por essas operações sem divisão por zero onde você quer continuidade, então é contínua lá.
Passo 5
Como testar continuidade de funções definidas por partes (onde costuma dar problema na prova).
Se tem uma definição diferente em um subconjunto e em outro (por exemplo, uma regra para
e outra em
), o ponto crítico é a fronteira entre as peças (tipicamente a origem). A técnica padrão:
Se
- Calcular
tentando várias trajetórias (linhas , parábolas , ou usando coordenadas polares). - Se encontrar duas trajetórias que dão limites diferentes, o limite não existe e
é descontínua em . - Se todas as trajetórias óbvias dão o mesmo valor, ainda não é prova completa — aí use coordenadas polares ou uma prova epsilon-delta para mostrar que a diferença
é pequena quando é pequena.
Passo 6
Exemplo clássico de função descontínua na origem (mostra por que testar trajetórias é útil). Considere a função definida por
Teste ao aproximar pela reta
. Substituindo:
Quando
(ou seja,
), o valor tende a
, que depende de
. Logo, diferentes retas
dão limites diferentes — o limite em
não existe — e, portanto,
não é contínua em
. Esse exemplo mostra a técnica: trocar trajetórias e observar dependência do parâmetro da trajetória.
Passo 7
Exemplo de função contínua em
e demonstração rápida (para contraste). Tome
. Quero mostrar que é contínua em qualquer
. Como polinômio em
, já sei que é contínua; mas segue um esboço epsilon-delta para treinar:
Escolho
para garantir
e
controlados por números fixos próximos a
. A partir daí encontro
em função de
. Moral: polinômios são tranquilos.
Passo 8
Resumo prático — checklist que eu usaria na prova quando me pedem “f é contínua em
?”:
- Se o enunciado dá a expressão analítica de
e ela é um polinômio ou combinação de funções contínuas sem divisão por zero no domínio, respondo “sim” explicando a composição. - Se
é definida por partes, foco nos pontos da fronteira entre peças (normalmente a origem); tento trajetórias simples , . - Se as trajetórias dão resultados iguais, tento coordenadas polares
e mostro que a expressão depende apenas de e tende a um valor quando ; ou faço um argumento epsilon-delta. - Se encontrar duas trajetórias com limites distintos, concluo “não é contínua” nesse ponto.
Passo 9
Aplicando tudo ao seu pedido específico: como não foi dada nenhuma definição de
, não há como aplicar as ferramentas anteriores a um caso concreto. Eu expliquei como testar continuidade e dei exemplos (um contínuo, outro não), mas sem a fórmula ou descrição de
não dá para afirmar se
é contínua em
.
Resposta
Não é possível determinar — o enunciado não fornece a definição de
.