Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
z=\operatorname{tg}\left(\frac{x}{y}\right), x=t, y=e^{t}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dz}{dt} e \dfrac{dw}{dt}.
Informações dadas pelo enunciado: z=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right), x=t e y=e^{t}. Além disso, há uma função w=f(x,y,z) (ou seja, w depende de x, y e z), mas o enunciado não dá uma forma explícita para w. Portanto teremos que dar \dfrac{dw}{dt} em termos das derivadas parciais de w (isto é, em termos de \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y} e \dfrac{\partial w}{\partial z}).
Resumo das perguntas:
\text{(1) } \frac{dz}{dt}\quad\text{e}\quad\text{(2) } \frac{dw}{dt}.

Passo 2

Regra da cadeia para z=f(x,y): quando z é função de x e y e x e y são funções de t, a regra da cadeia diz
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} significa a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t (análogo para y). Essa fórmula é a forma padrão da regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto: z=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). É mais prático ver z como composição z=\tan(u) com u=\dfrac{x}{y}. Sabemos a derivada de \tan(u):
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Portanto, pela regra da cadeia para uma composição simples,
\frac{dz}{dt}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u\big)\cdot\frac{du}{dt} \qquad\text{com}\qquad u=\frac{x}{y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{du}{dt} com u=\dfrac{x}{y}, sabendo que x=t e y=e^{t}. Vou usar a regra do quociente (pode-se também escrever u=x\,y^{-1} e usar produto + regra da cadeia; ambos dão o mesmo resultado). A regra do quociente diz
\frac{du}{dt}=\frac{\dfrac{dx}{dt}\cdot y - x\cdot\dfrac{dy}{dt}}{y^{2}}.
Agora substituímos \dfrac{dx}{dt}=1, \dfrac{dy}{dt}=e^{t}, x=t, y=e^{t}:
\frac{du}{dt}=\frac{1\cdot e^{t} - t\cdot e^{t}}{(e^{t})^{2}} =\frac{e^{t}(1-t)}{e^{2t}}=e^{-t}(1-t).

Passo 5

Agora juntamos com a etapa do Passo 3. Lembrando que u=\dfrac{x}{y}=\dfrac{t}{e^{t}}=t e^{-t}, temos
\frac{dz}{dt}=\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big)\cdot e^{-t}(1-t).
Podemos escrever de forma clara:
\frac{dz}{dt}=e^{-t}(1-t)\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big).
(Isto é a expressão final para \dfrac{dz}{dt}.)

Passo 6

Regra da cadeia para w=f(x,y,z): quando w depende de x,y,z e cada uma dessas depende de t, a derivada total é
\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y} e \dfrac{\partial w}{\partial z} são as derivadas parciais de w em relação a cada variável, avaliadas no ponto \big(x(t),y(t),z(t)\big). Essa é a forma padrão da regra da cadeia para funções de três variáveis.

Passo 7

Substituímos na fórmula do Passo 6 os valores de \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} e o \dfrac{dz}{dt} que encontramos. Temos \dfrac{dx}{dt}=1, \dfrac{dy}{dt}=e^{t} e \dfrac{dz}{dt}=e^{-t}(1-t)\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big). Assim
\frac{dw}{dt} =\frac{\partial w}{\partial x}\cdot 1 +\frac{\partial w}{\partial y}\cdot e^{t} +\frac{\partial w}{\partial z}\cdot e^{-t}(1-t)\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big).
Podemos organizar:
\frac{dw}{dt} =\frac{\partial w}{\partial x}+e^{t}\frac{\partial w}{\partial y} +e^{-t}(1-t)\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big)\frac{\partial w}{\partial z},
lembrando que todas as derivadas parciais são avaliadas em \big(x(t),y(t),z(t)\big)=(t,e^{t},\tan(t e^{-t})).

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=e^{-t}(1-t)\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big)
\displaystyle \frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}+e^{t}\frac{\partial w}{\partial y}+e^{-t}(1-t)\operatorname{sec}^{2}\!\big(t e^{-t}\big)\frac{\partial w}{\partial z}

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