Usando a regra da cadeia para
e
, calcule
e
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
e
.
Informações dadas pelo enunciado: ,
e
. Além disso, há uma função
(ou seja,
depende de
,
e
), mas o enunciado não dá uma forma explícita para
. Portanto teremos que dar
em termos das derivadas parciais de
(isto é, em termos de
,
e
).
Informações dadas pelo enunciado:
Resumo das perguntas:
Passo 2
Regra da cadeia para
: quando
é função de
e
e
e
são funções de
, a regra da cadeia diz
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo, e
é a derivada de
em relação a
(análogo para
). Essa fórmula é a forma padrão da regra da cadeia para funções de duas variáveis.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto:
. É mais prático ver
como composição
com
. Sabemos a derivada de
:
Portanto, pela regra da cadeia para uma composição simples,
Passo 4
Calcular
com
, sabendo que
e
. Vou usar a regra do quociente (pode-se também escrever
e usar produto + regra da cadeia; ambos dão o mesmo resultado). A regra do quociente diz
Agora substituímos
,
,
,
:
Passo 5
Agora juntamos com a etapa do Passo 3. Lembrando que
, temos
Podemos escrever de forma clara:
(Isto é a expressão final para
.)
Passo 6
Regra da cadeia para
: quando
depende de
e cada uma dessas depende de
, a derivada total é
Aqui
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a cada variável, avaliadas no ponto
. Essa é a forma padrão da regra da cadeia para funções de três variáveis.
Passo 7
Substituímos na fórmula do Passo 6 os valores de
,
e o
que encontramos. Temos
,
e
. Assim
Podemos organizar:
lembrando que todas as derivadas parciais são avaliadas em
.