Calcule o ângulo \theta entre os vetores
\vec{a}=(4,2) e \vec{b}=(1,5)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores \vec{a}=(4,2) e \vec{b}=(1,5). O conteúdo envolvido é produto escalar de vetores no plano, onde usamos a fórmula
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar
\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot1 + 2\cdot5 = 4 + 10 = 14.

Passo 3

Calculamos as normas dos vetores:
\|\vec{a}\| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},
\|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}.

Passo 4

Substituímos na fórmula de \cos\theta:
\cos\theta = \frac{14}{(2\sqrt{5})(\sqrt{26})} = \frac{14}{2\sqrt{130}} = \frac{7}{\sqrt{130}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{7}{\sqrt{130}}\biggr).

Passo 5

Para ter uma ideia do valor numérico, note que
\frac{7}{\sqrt{130}}\approx 0,61446
e
\theta \approx \operatorname{arccos}(0,61446)\approx 52,1^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{7}{\sqrt{130}}\bigr)\approx 52,1^\circ.

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